华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4、已知方阵 $\mathbf{A}$ 的初等因子组为 $(\mathbf{\lambda}+\mathbf{2}),(\mathbf{\lambda}+\mathbf{2})^{2},(\mathbf{\lambda}-\mathbf{2})^{2},(\mathbf{\lambda}-\mathbf{2})^{2}$ ，则其逆矩阵 $\mathbf{A}^{-\mathbf{1}}$ 的极小多项式 $\mathbf{m}_{\mathbf{A}^{-\mathbf{1}}}(\mathbf{\lambda})$ 为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定A的特征值与代数重数
由初等因子组 $(\lambda+2), (\lambda+2)^2, (\lambda-2)^2, (\lambda-2)^2$ 可知，特征值 $-2$ 对应的初等因子为 $(\lambda+2)$ 和 $(\lambda+2)^2$，故 $-2$ 的代数重数为 $1+2=3$；特征值 $2$ 对应的初等因子为两个 $(\lambda-2)^2$，故 $2$ 的代数重数为 $2+2=4$。因此 $\mathbf{A}$ 是 $7$ 阶方阵。
提示：注意初等因子中每个因子的次数之和等于该特征值的代数重数。
步骤 2/6
目标：写出A的极小多项式
极小多项式是初等因子组中所有不同因子的最高次幂的乘积。不同因子为 $(\lambda+2)$ 和 $(\lambda-2)$，最高次幂分别为 $2$ 和 $2$，故 $m_{\mathbf{A}}(\lambda) = (\lambda+2)^2 (\lambda-2)^2$。
公式：m_A(λ) = ∏ (λ - λ_i)^{最大指数}
提示：极小多项式必须包含每个特征值对应的最大Jordan块大小。
步骤 3/6
目标：验证A可逆
由于 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $-2$ 和 $2$，均不为零，故 $\mathbf{A}$ 可逆，逆矩阵 $\mathbf{A}^{-1}$ 存在。
提示：可逆的充要条件是特征值全非零。
步骤 4/6
目标：确定A^{-1}的特征值
若 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值，则 $\lambda^{-1}$ 是 $\mathbf{A}^{-1}$ 的特征值。因此 $\mathbf{A}^{-1}$ 的特征值为 $-\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$。
公式：若 A x = λ x，则 A^{-1} x = λ^{-1} x
提示：注意特征值取倒数，且代数重数保持不变。
步骤 5/6
目标：利用变换求A^{-1}的极小多项式
极小多项式满足关系：$m_{\mathbf{A}^{-1}}(\mu) = \mu^d m_{\mathbf{A}}(1/\mu)$ 乘以常数使首项系数为1，其中 $d$ 是 $m_{\mathbf{A}}$ 的次数。这里 $m_{\mathbf{A}}(\lambda) = (\lambda+2)^2 (\lambda-2)^2$，次数 $d=4$。计算：
$m_{\mathbf{A}^{-1}}(\mu) = \mu^4 \left(\frac{1}{\mu}+2\right)^2 \left(\frac{1}{\mu}-2\right)^2 = \mu^4 \left(\frac{1+2\mu}{\mu}\right)^2 \left(\frac{1-2\mu}{\mu}\right)^2 = (1+2\mu)^2 (1-2\mu)^2$。
因此 $m_{\mathbf{A}^{-1}}(\lambda) = (1+2\lambda)^2 (1-2\lambda)^2$。
公式：m_{A^{-1}}(μ) = μ^d m_A(1/μ) 归一化
提示：注意变换后要确保多项式首项系数为1，这里 $(1+2λ)^2(1-2λ)^2$ 展开后首项系数为 $16$，但通常极小多项式要求首一，因此需除以 $16$ 得到 $m(λ) = (λ+1/2)^2 (λ-1/2)^2$。但题目答案通常保留因式分解形式，如 $(2λ+1)^2(2λ-1)^2$ 或 $(λ+1/2)^2(λ-1/2)^2$。
步骤 6/6
目标：化简并写出最终答案
将 $(1+2\lambda)^2 (1-2\lambda)^2$ 写成标准形式：$(2\lambda+1)^2 (2\lambda-1)^2$。若要求首一多项式，可化为 $(\lambda+\frac{1}{2})^2 (\lambda-\frac{1}{2})^2$。通常答案以 $(2\lambda+1)^2 (2\lambda-1)^2$ 形式给出。
提示：注意因式分解的等价形式，不要遗漏平方。
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