华东师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6、设 $\mathbf{A}=\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}) \mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}),(\mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu} \in \mathbb{C})$ ，则矩阵函数 $\mathbf{e}^{\mathbf{A}}$的行列式为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将若尔当块表示为标量矩阵与幂零矩阵之和
设 $J_n(\lambda)$ 为 $n$ 阶若尔当块，即 $J_n(\lambda) = \lambda I + N$，其中 $N$ 为幂零矩阵，$N^n = 0$，且 $N$ 的次对角线为1，其余为0。
公式：$J_n(\lambda) = \lambda I + N$
提示：注意 $N$ 是严格上三角矩阵，对角线全为0。
步骤 2/6
目标：代入表达式并展开
将 $J_n(\lambda)$ 和 $J_n(\mu)$ 代入 $A = J_n(\lambda) J_n(\mu) - J_n(\mu) - J_n(\lambda)$，得
$$A = (\lambda I + N)(\mu I + N) - (\mu I + N) - (\lambda I + N)$$
展开得
$$A = \lambda \mu I + \lambda N + \mu N + N^2 - \mu I - N - \lambda I - N = (\lambda \mu - \lambda - \mu)I + (\lambda + \mu - 2)N + N^2$$
提示：注意 $N$ 与 $I$ 可交换，但 $N$ 与自身相乘时注意幂次。
步骤 3/6
目标：简化表达式
令 $a = \lambda \mu - \lambda - \mu$，$b = \lambda + \mu - 2$，则 $A = aI + bN + N^2$。
公式：$A = aI + bN + N^2$
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是复数。
步骤 4/6
目标：利用矩阵指数的行列式公式
对于任意方阵 $A$，有 $\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}$。因此只需计算 $A$ 的迹。
公式：$\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}$
提示：该公式适用于所有方阵，但需注意 $e^A$ 的定义。
步骤 5/6
目标：计算 $A$ 的迹
由于 $\operatorname{tr}(aI) = n a$，$\operatorname{tr}(N) = 0$（$N$ 对角线全0），$\operatorname{tr}(N^2) = 0$（$N^2$ 对角线也为0），所以 $\operatorname{tr}(A) = n a$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = n(\lambda \mu - \lambda - \mu)$
提示：注意 $N^2$ 的迹：$N^2$ 的 $(i,i)$ 元素为 $\sum_k N_{ik} N_{ki}$，由于 $N$ 只有次对角线非零，故 $N^2$ 只有次次对角线非零，对角线全0。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此 $\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)} = e^{n(\lambda \mu - \lambda - \mu)}$。
公式：$\det(e^A) = e^{n(\lambda \mu - \lambda - \mu)}$
提示：最终结果是一个指数函数，注意指数部分不要遗漏 $n$。
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