华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．如果实系数多项式 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+9$ 有重根，那么这个重根是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解重根条件
多项式 $f(x)$ 有重根当且仅当 $f(x)$ 与它的导数 $f'(x)$ 有公因式。设重根为 $r$，则 $f(r)=0$ 且 $f'(r)=0$。
提示：注意：重根条件必须同时满足 $f(r)=0$ 和 $f'(r)=0$，缺一不可。
步骤 2/6
目标：求导数并解方程
计算 $f'(x)=3x^2+2ax$。由 $f'(r)=0$ 得 $3r^2+2ar=0$，即 $r(3r+2a)=0$，解得 $r=0$ 或 $r=-\frac{2a}{3}$。
公式：f'(x)=3x^2+2ax
提示：注意因式分解时不要漏解，$r=0$ 也是一个候选。
步骤 3/6
目标：排除 $r=0$
若 $r=0$，代入 $f(0)=0^3+a\cdot0^2+9=9\neq0$，与 $f(r)=0$ 矛盾，故 $r\neq0$。因此重根只能是 $r=-\frac{2a}{3}$。
提示：代入验证是排除错误解的重要步骤，不要遗漏。
步骤 4/6
目标：代入 $f(r)=0$ 求 $a$
将 $r=-\frac{2a}{3}$ 代入 $f(x)=x^3+ax^2+9$ 得：
\[
\left(-\frac{2a}{3}\right)^3 + a\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + 9 = 0
\]
计算：
\[
-\frac{8a^3}{27} + a\cdot\frac{4a^2}{9} + 9 = -\frac{8a^3}{27} + \frac{4a^3}{9} + 9 = \frac{-8a^3+12a^3}{27} + 9 = \frac{4a^3}{27} + 9 = 0
\]
解得 $\frac{4a^3}{27} = -9$，即 $a^3 = -\frac{243}{4}$，$a = -\frac{3\sqrt[3]{36}}{2}$。
公式：\left(-\frac{2a}{3}\right)^3 + a\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + 9 = 0
提示：注意分数运算和立方根的化简，确保计算准确。
步骤 5/6
目标：求重根 $r$
由 $r = -\frac{2a}{3}$ 代入 $a$ 的值：
\[
r = -\frac{2}{3}\left(-\frac{3\sqrt[3]{36}}{2}\right) = \sqrt[3]{36}
\]
公式：r = -\frac{2a}{3}
提示：注意负号的处理，最终结果为正。
步骤 6/6
目标：得出答案
因此，重根为 $\sqrt[3]{36}$。
提示：答案应化简为最简形式。
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