📝 华东师范大学 2026年高等代数真题
第0题
1．如果实系数多项式 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+9$ 有重根，那么这个重根是 $\_\_\_\_$ ．
第0题
2．设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 4 \\
-1 & 0 & 2 & -3 \\
5 & 4 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 3 & 2
\end{array}\right)
$$
其特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}=$ $\_\_\_\_$。
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 4 \\
-1 & 0 & 2 & -3 \\
5 & 4 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 3 & 2
\end{array}\right)
$$
其特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}=$ $\_\_\_\_$。
第0题
3．已知 $A \in M_{10}(\mathbb{C}), A$ 的特征多项式为 $x^{5}(x-1)^{5}, A$ 的极小多项式为 $x^{3}(x-1)^{2}$ ，则 $A$ 有 $\_\_\_\_$个不同的相似等价类．
第0题
4．一个关于未知数 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{\mathrm{T}}$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $(-1,7,1,-6,-3)^{\mathrm{T}}$张成的线性子空间，那么在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 中，主变元是 $\_\_\_\_$ ．
第0题
5．设线性空间 $V$ 和它的三个线性子空间 $V_{1}, V_{1}, V_{3}$ 满足 $\operatorname{dim} V=9, \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim} V_{3}=4$ ， $V=V_{1}+V_{2}+V_{3},\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\{0\}$ ．则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
6．$\left|\begin{array}{cccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 18 & 32 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 16 & 54 & 128 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$U, W$ 分别是 $V$ 的 $m$ 维和 $r$ 维线性子空间，设 $T$ 是所有满足 $f(V) \subset W$ 的 $V$ 的线性变换所构成的线性空间，则 $\operatorname{dim} T=$ $\_\_\_\_$ ．（用 $n, m, r$ 表示）
第0题
8．线性空间 $\mathbb{C}^{3} \times \mathbb{C}^{3}$ 上的线性变换 $\mathscr{L}$ 定义如下：对 $X, Y \in \mathbb{C}^{3}, \mathscr{L}(X, Y)=(X+2 Y, 2 X-Y)$ ，则 $\mathscr{L}$的所有特征值为 $\_\_\_\_$ ．（若有重数，需写明重数）
第0题
9．设 $n \geq 3, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是不定元，$s_{k}$ 是这 $n$ 个不定元的 $k$ 次方的和，$k=1,2, \cdots$ ，用 $s_{k}$ 表示下述多项式 $\sum_{1 \leq i<j \leq n} x_{i} x_{j}\left(x_{i}+x_{j}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
10．设 $V$ 是 2025 维实线性空间，$F: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个非退化双线性型．已知在 $V$ 的一个线性子空间 $W$ 上，$F$ 限制在 $W \times W$ 上恒为零．考虑所有可能的 $F$ 和 $W, \operatorname{dim} W$ 的最大可能值是 $\_\_\_\_$ ．
第0题
11．考虑关于 $(x, y, z)$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y+3 z=0 \\
2 x+3 y+a z=3 \\
3 x+4 y+5 z=b
\end{array}\right.
$$
其中 $(a, b)$ 为参数。试讨论 $(a, b)$ 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解（唯一解或无穷多解）时，求出它的所有解．
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y+3 z=0 \\
2 x+3 y+a z=3 \\
3 x+4 y+5 z=b
\end{array}\right.
$$
其中 $(a, b)$ 为参数。试讨论 $(a, b)$ 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解（唯一解或无穷多解）时，求出它的所有解．
第0题
12．设 $V$ 是区间 $[-1,1]$ 上所有实值连续函数构成的线性空间，定义
$$
(f, g):=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) \mathrm{d} t, \forall f(t), g(t) \in V
$$
设 $W \subset V$ 是由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 张成的线性子空间．
（1）利用 Gram－Schmidt 正交化，由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 构造出 $W$ 的一组规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$ ．
（2）设 $f(t)=e^{t} \in V$ ，求 $f(t)$ 在 $W$ 上的正交投影 $f_{W}(t)$ ，并用（1）中的规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$表示 $f_{W}(t)$ ．
$$
(f, g):=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) \mathrm{d} t, \forall f(t), g(t) \in V
$$
设 $W \subset V$ 是由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 张成的线性子空间．
（1）利用 Gram－Schmidt 正交化，由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 构造出 $W$ 的一组规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$ ．
（2）设 $f(t)=e^{t} \in V$ ，求 $f(t)$ 在 $W$ 上的正交投影 $f_{W}(t)$ ，并用（1）中的规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$表示 $f_{W}(t)$ ．
第0题
13．设 $A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，且 $A$ 可逆．已知存在正整数 $t$ ，使得对 $k \in\{t+1, t+2, \cdots, t+n\}, B$ 与 $A^{k}$均可交换．证明：$B$ 与 $A$ 可交换．
第0题
14．设 $V$ 是 $n \geq 2$ 维欧几里得空间，$v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 是 $v_{i}$ 与 $v_{j}$的内积．
（1）证明：$A$ 是半正定矩阵．
（2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。
（3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。
（1）证明：$A$ 是半正定矩阵．
（2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。
（3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。
第0题
15．设 $A, B$ 均是 $n$ 阶实对称矩阵，满足 $A B+A^{3}=B A+B^{3}$ ，证明：$A=B$ ．