华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
11．考虑关于 $(x, y, z)$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y+3 z=0 \\
2 x+3 y+a z=3 \\
3 x+4 y+5 z=b
\end{array}\right.
$$
其中 $(a, b)$ 为参数。试讨论 $(a, b)$ 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解（唯一解或无穷多解）时，求出它的所有解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & a \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & a & 3 \\ 3 & 4 & 5 & b \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵最后一列为常数项，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：对增广矩阵进行初等行变换
进行行变换：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & a & 3 \\ 3 & 4 & 5 & b \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & a-6 & 3 \\ 0 & -2 & -4 & b \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & a-6 & 3 \\ 0 & 0 & -2a+8 & b-6 \end{pmatrix}$。
提示：行变换要细心，避免计算错误。注意第三行第二列元素变为0。
步骤 3/7
目标：讨论系数矩阵的秩与增广矩阵的秩
系数矩阵的秩 $r(A)$ 和增广矩阵的秩 $r(\bar{A})$ 取决于 $a$ 和 $b$。
- 当 $-2a+8 \neq 0$，即 $a \neq 4$ 时，$r(A)=3$，$r(\bar{A})=3$。
- 当 $a=4$ 时，系数矩阵第三行全零，$r(A)=2$。此时增广矩阵第三行变为 $(0,0,0,b-6)$。
提示：注意区分系数矩阵和增广矩阵的秩。
步骤 4/7
目标：情况一：a≠4时有唯一解
当 $a \neq 4$ 时，方程组化为：
$\begin{cases} x+2y+3z=0 \\ -y+(a-6)z=3 \\ (-2a+8)z=b-6 \end{cases}$
解得：$z = \frac{b-6}{8-2a}$，$y = (a-6)z - 3 = \frac{(a-6)(b-6)}{8-2a} - 3$，$x = -2y-3z = -2\left(\frac{(a-6)(b-6)}{8-2a} - 3\right) - 3\cdot\frac{b-6}{8-2a}$。
化简得：$x = \frac{6-2b}{8-2a} + 6$，$y = \frac{(a-6)(b-6)}{8-2a} - 3$，$z = \frac{b-6}{8-2a}$。
公式：回代求解公式
提示：注意分母 $8-2a$ 不为零，且化简时小心符号。
步骤 5/7
目标：情况二：a=4时讨论b
当 $a=4$ 时，增广矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & b-6 \end{pmatrix}$。
- 若 $b-6 \neq 0$，即 $b \neq 6$，则 $r(\bar{A})=3 > r(A)=2$，方程组无解。
- 若 $b=6$，则 $r(\bar{A})=2 = r(A)$，方程组有无穷多解。
提示：注意 $b=6$ 时第三行全零，秩相等。
步骤 6/7
目标：情况二子情况：a=4,b=6时无穷多解
当 $a=4, b=6$ 时，方程组化为：
$\begin{cases} x+2y+3z=0 \\ -y-2z=3 \end{cases}$
即 $y = -2z-3$，$x = -2y-3z = -2(-2z-3)-3z = 4z+6-3z = z+6$。
令 $z = t$（$t$ 为自由参数），则解为 $\begin{cases} x = t+6 \\ y = -2t-3 \\ z = t \end{cases}$，$t \in \mathbb{R}$。
提示：自由参数可以任意取值，注意解的表达形式。
步骤 7/7
目标：总结所有情况
综上所述：
- 当 $a \neq 4$ 时，方程组有唯一解：$x = \frac{6-2b}{8-2a} + 6$，$y = \frac{(a-6)(b-6)}{8-2a} - 3$，$z = \frac{b-6}{8-2a}$。
- 当 $a=4$ 且 $b \neq 6$ 时，方程组无解。
- 当 $a=4$ 且 $b=6$ 时，方程组有无穷多解：$\begin{cases} x = t+6 \\ y = -2t-3 \\ z = t \end{cases}$，$t \in \mathbb{R}$。
提示：注意区分不同情况，不要遗漏。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。