华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．一个关于未知数 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{\mathrm{T}}$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $(-1,7,1,-6,-3)^{\mathrm{T}}$张成的线性子空间，那么在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 中，主变元是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定解空间维数和系数矩阵秩
已知解空间由两个线性无关的向量 $\alpha_1=(5,0,2,2,1)^T$ 和 $\alpha_2=(-1,7,1,-6,-3)^T$ 张成，因此解空间的维数为 $2$。未知数个数为 $5$，根据齐次线性方程组解空间维数公式：$\text{解空间维数} = n - \text{秩}(A)$，其中 $n=5$，所以系数矩阵 $A$ 的秩为 $5-2=3$。
公式：解空间维数 = n - 秩(A)
提示：注意解空间维数等于基础解系中向量的个数，这里两个向量线性无关，所以维数为2。
步骤 2/5
目标：将解向量作为行向量构造矩阵
将两个解向量作为行向量构造一个 $2 \times 5$ 的矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & 7 & 1 & -6 & -3
\end{pmatrix}
$$
这个矩阵的行向量是解空间的一组基，其行空间就是解空间。
提示：注意是行向量，不是列向量。
步骤 3/5
目标：对矩阵进行行初等变换化为行最简形
对矩阵进行行初等变换：
$$
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & 7 & 1 & -6 & -3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2}
\begin{pmatrix}
-1 & 7 & 1 & -6 & -3 \\
5 & 0 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1 \times (-1)}
\begin{pmatrix}
1 & -7 & -1 & 6 & 3 \\
5 & 0 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 - 5R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -7 & -1 & 6 & 3 \\
0 & 35 & 7 & -28 & -14
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 \times \frac{1}{7}}
\begin{pmatrix}
1 & -7 & -1 & 6 & 3 \\
0 & 5 & 1 & -4 & -2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1 + \frac{7}{5}R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\
0 & 5 & 1 & -4 & -2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 \times \frac{1}{5}}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\
0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & -\frac{2}{5}
\end{pmatrix}
$$
得到行最简形。
提示：行变换过程中注意分数运算，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：确定主变元
行最简形矩阵中，每一行第一个非零元素（主元）所在的列对应主变元。第一行主元在第1列，第二行主元在第2列，因此主变元为 $x_1$ 和 $x_2$。
提示：主变元是主元所在列的变量，注意行最简形中主元必须为1。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，主变元是 $x_1$ 和 $x_2$。
提示：答案格式：$x_1, x_2$。
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