华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $n \geq 3, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是不定元，$s_{k}$ 是这 $n$ 个不定元的 $k$ 次方的和，$k=1,2, \cdots$ ，用 $s_{k}$ 表示下述多项式 $\sum_{1 \leq i<j \leq n} x_{i} x_{j}\left(x_{i}+x_{j}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确所求多项式的形式
所求多项式为 $\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j (x_i + x_j)$。注意到对于每一对 $i
公式：$x_i x_j (x_i + x_j) = x_i^2 x_j + x_i x_j^2$
提示：注意 $i \neq j$ 时，$x_i^2 x_j$ 和 $x_j^2 x_i$ 是不同的项，需要分别求和。
步骤 2/5
目标：引入幂和记号
记 $s_k = \sum_{i=1}^n x_i^k$，其中 $k=1,2,\dots$。则 $s_1 = \sum_i x_i$，$s_2 = \sum_i x_i^2$，$s_3 = \sum_i x_i^3$。
公式：$s_k = \sum_{i=1}^n x_i^k$
提示：注意 $s_k$ 是 $k$ 次幂和，不是初等对称多项式。
步骤 3/5
目标：计算 $s_1 s_2$ 的展开式
计算 $s_1 s_2 = \left(\sum_i x_i\right)\left(\sum_j x_j^2\right) = \sum_i \sum_j x_i x_j^2$。将求和分为 $i=j$ 和 $i \neq j$ 两部分：$\sum_i x_i^3 + \sum_{i \neq j} x_i x_j^2$。
公式：$s_1 s_2 = \sum_i x_i^3 + \sum_{i \neq j} x_i x_j^2$
提示：展开时注意双重求和，不要遗漏交叉项。
步骤 4/5
目标：将所求多项式与 $s_1 s_2$ 关联
所求多项式 $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j$ 与 $\sum_{i \neq j} x_i x_j^2$ 相等（只需交换求和指标 $i$ 和 $j$）。因此 $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j = \sum_{i \neq j} x_i x_j^2 = s_1 s_2 - \sum_i x_i^3 = s_1 s_2 - s_3$。
公式：$\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j = s_1 s_2 - s_3$
提示：注意 $\sum_{i \neq j} x_i x_j^2$ 与 $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j$ 是相同的，只是指标重命名。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，所求多项式 $\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j (x_i + x_j) = s_1 s_2 - s_3$。
公式：$\boxed{s_1 s_2 - s_3}$
提示：最终结果用幂和表示，简洁明了。
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