华东师范大学 2026年高等代数第0题

12．设 $V$ 是区间 $[-1,1]$ 上所有实值连续函数构成的线性空间，定义 $$ (f, g):=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) \mathrm{d} t, \forall f(t), g(t) \in V $$ 设 $W \subset V$ 是由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 张成的线性子空间． （1）利用 Gram－Schmidt 正交化，由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 构造出 $W$ 的一组规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$ ． （2）设 $f(t)=e^{t} \in V$ ，求 $f(t)$ 在 $W$ 上的正交投影 $f_{W}(t)$ ，并用（1）中的规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$表示 $f_{W}(t)$ ．