华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．已知 $A \in M_{10}(\mathbb{C}), A$ 的特征多项式为 $x^{5}(x-1)^{5}, A$ 的极小多项式为 $x^{3}(x-1)^{2}$ ，则 $A$ 有 $\_\_\_\_$个不同的相似等价类．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征多项式
已知特征多项式为 $x^{5}(x-1)^{5}$，因此特征值 $0$ 和 $1$ 的代数重数均为 $5$。
提示：注意特征多项式给出的是特征值及其代数重数，但未给出几何重数。
步骤 2/6
目标：分析极小多项式
极小多项式为 $x^{3}(x-1)^{2}$，这表明：对于特征值 $0$，最大的 Jordan 块大小为 $3$；对于特征值 $1$，最大的 Jordan 块大小为 $2$。
提示：极小多项式中因子的指数等于对应特征值的最大 Jordan 块大小。
步骤 3/6
目标：确定特征值0的可能Jordan块组合
特征值 $0$ 的代数重数为 $5$，最大 Jordan 块大小为 $3$。可能的 Jordan 块大小组合（降序排列）需满足：每个块大小 ≤ 3，总和为 5，且至少有一个大小为 3 的块。可能的组合有：
- $3+2$（一个3阶块和一个2阶块）
- $3+1+1$（一个3阶块和两个1阶块）
其他组合如 $2+2+1$、$2+1+1+1$、$1+1+1+1+1$ 均不含3阶块，故排除。
提示：注意：必须包含至少一个大小为3的块，否则极小多项式次数会小于3。
步骤 4/6
目标：确定特征值1的可能Jordan块组合
特征值 $1$ 的代数重数为 $5$，最大 Jordan 块大小为 $2$。可能的 Jordan 块大小组合需满足：每个块大小 ≤ 2，总和为 5，且至少有一个大小为 2 的块。可能的组合有：
- $2+2+1$（两个2阶块和一个1阶块）
- $2+1+1+1$（一个2阶块和三个1阶块）
全1阶块 $1+1+1+1+1$ 不含2阶块，故排除。
提示：注意：必须包含至少一个大小为2的块，否则极小多项式次数会小于2。
步骤 5/6
目标：计算总的相似等价类个数
特征值 $0$ 有 $2$ 种可能的 Jordan 标准形，特征值 $1$ 也有 $2$ 种可能的 Jordan 标准形。由于两个特征值的 Jordan 块选择相互独立，总的相似等价类个数为 $2 \times 2 = 4$。
提示：不同特征值的 Jordan 块组合是独立的，因此总数为各特征值可能数的乘积。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$A$ 有 $4$ 个不同的相似等价类。
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