华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设线性空间 $V$ 和它的三个线性子空间 $V_{1}, V_{1}, V_{3}$ 满足 $\operatorname{dim} V=9, \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim} V_{3}=4$ ， $V=V_{1}+V_{2}+V_{3},\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\{0\}$ ．则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析直和条件
已知 $(V_1+V_2) \cap V_3 = \{0\}$，且 $V = V_1+V_2+V_3$，因此 $V$ 是 $V_1+V_2$ 与 $V_3$ 的直和，即 $V = (V_1+V_2) \oplus V_3$。
公式：直和条件：$U \cap W = \{0\}$ 且 $V = U+W$ 则 $V = U \oplus W$
提示：注意直和条件要求交为零且和为全空间，这里 $(V_1+V_2) \cap V_3 = \{0\}$ 且 $V = V_1+V_2+V_3$，所以满足直和定义。
步骤 2/5
目标：计算 $\dim(V_1+V_2)$
由直和性质，$\dim V = \dim(V_1+V_2) + \dim V_3$。代入 $\dim V = 9$，$\dim V_3 = 4$，得 $\dim(V_1+V_2) = 9 - 4 = 5$。
公式：直和维数公式：$\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$
提示：注意直和维数公式是维数相加，不要与一般和空间的维数公式混淆。
步骤 3/5
目标：应用维数公式于 $V_1$ 和 $V_2$
对子空间 $V_1$ 和 $V_2$，有 $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$。代入 $\dim(V_1+V_2)=5$，$\dim V_1 = \dim V_2 = 4$，得 $5 = 4 + 4 - \dim(V_1 \cap V_2)$。
公式：维数公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$
提示：注意维数公式中减的是交的维数，不要忘记减号。
步骤 4/5
目标：求解 $\dim(V_1 \cap V_2)$
由 $5 = 8 - \dim(V_1 \cap V_2)$，移项得 $\dim(V_1 \cap V_2) = 8 - 5 = 3$。
提示：计算时注意移项符号，避免算术错误。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\dim(V_1 \cap V_2) = 3$。
提示：最终答案应填入空格中。
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