华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
15．设 $A, B$ 均是 $n$ 阶实对称矩阵，满足 $A B+A^{3}=B A+B^{3}$ ，证明：$A=B$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简条件等式
由条件 $AB + A^3 = BA + B^3$ 移项得 $AB - BA = B^3 - A^3$。
提示：注意移项时符号变化。
步骤 2/7
目标：分析矩阵对称性
由于 $A, B$ 是实对称矩阵，即 $A^T = A$, $B^T = B$，则 $(AB - BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB - BA)$，所以 $AB - BA$ 是反对称矩阵。另一方面，$(B^3 - A^3)^T = (B^3)^T - (A^3)^T = B^3 - A^3$，所以 $B^3 - A^3$ 是对称矩阵。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：注意转置运算的顺序：$(AB)^T = B^T A^T$。
步骤 3/7
目标：推出AB=BA
由 $AB - BA = B^3 - A^3$ 知，左边是反对称矩阵，右边是对称矩阵。一个矩阵既是反对称又是对称，则必为零矩阵。因此 $AB - BA = 0$，即 $AB = BA$。
公式：反对称矩阵满足 $M^T = -M$，对称矩阵满足 $M^T = M$，同时成立则 $M=0$。
提示：反对称矩阵的主对角线元素必为零，但此处直接利用性质即可。
步骤 4/7
目标：代入原式得A^3=B^3
将 $AB = BA$ 代入原式 $AB + A^3 = BA + B^3$，得 $A^3 = B^3$。
提示：代入时注意等式两边抵消 $AB$ 和 $BA$。
步骤 5/7
目标：利用正交对角化
由于 $A, B$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $A = Q \Lambda Q^T$，$B = Q \Gamma Q^T$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，$\Gamma = \operatorname{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$ 为实对角矩阵。注意这里 $A$ 和 $B$ 可同时对角化，因为 $AB=BA$。
公式：实对称矩阵可正交对角化；可交换的实对称矩阵可同时正交对角化。
提示：需要先证明 $AB=BA$ 才能保证存在同一个正交矩阵 $Q$ 同时对角化 $A$ 和 $B$。
步骤 6/7
目标：由A^3=B^3推出特征值相等
由 $A^3 = B^3$ 得 $Q \Lambda^3 Q^T = Q \Gamma^3 Q^T$，从而 $\Lambda^3 = \Gamma^3$，即 $\lambda_i^3 = \mu_i^3$ 对所有 $i$ 成立。由于 $\lambda_i, \mu_i$ 是实数，立方根唯一，故 $\lambda_i = \mu_i$。因此 $\Lambda = \Gamma$。
公式：实数立方根唯一：$x^3 = y^3 \Rightarrow x = y$。
提示：注意实数立方根的唯一性，复数则不然。
步骤 7/7
目标：结论
由 $\Lambda = \Gamma$ 得 $A = Q \Lambda Q^T = Q \Gamma Q^T = B$，即 $A = B$。
提示：最终结论需明确写出。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。