华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$U, W$ 分别是 $V$ 的 $m$ 维和 $r$ 维线性子空间，设 $T$ 是所有满足 $f(V) \subset W$ 的 $V$ 的线性变换所构成的线性空间，则 $\operatorname{dim} T=$ $\_\_\_\_$ ．（用 $n, m, r$ 表示）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题与定义
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$U, W$ 分别是 $V$ 的 $m$ 维和 $r$ 维线性子空间。定义 $T = \{ f: V \to V \mid f \text{ 是线性变换且 } f(V) \subset W \}$。我们需要计算 $\dim T$。注意 $U$ 在问题中未直接使用，可能是干扰项。
提示：注意 $T$ 中的变换是 $V$ 到自身的线性变换，但像空间限制在 $W$ 内。
步骤 2/5
目标：将 $T$ 与 Hom 空间联系
由于 $f(V) \subset W$，每个 $f \in T$ 可以视为从 $V$ 到 $W$ 的线性映射，即 $f \in \operatorname{Hom}(V, W)$。反之，任意 $g \in \operatorname{Hom}(V, W)$ 可以自然地视为 $V$ 上的线性变换（因为 $W \subset V$），且满足 $g(V) \subset W$。因此 $T$ 与 $\operatorname{Hom}(V, W)$ 作为线性空间同构。
公式：T \cong \operatorname{Hom}(V, W)
提示：同构映射是自然的：将 $f$ 限制到 $W$ 上，但注意 $f$ 的定义域仍是 $V$。
步骤 3/5
目标：计算 Hom 空间的维数
已知 $\dim \operatorname{Hom}(V, W) = (\dim V)(\dim W) = n \cdot r$。这是因为线性映射由基的像唯一确定，且像可以任意选取 $W$ 中的向量。
公式：\dim \operatorname{Hom}(V, W) = (\dim V)(\dim W)
提示：注意 $\operatorname{Hom}(V, W)$ 的维数等于 $\dim V \times \dim W$，而不是 $\dim V + \dim W$。
步骤 4/5
目标：得出 T 的维数
由同构关系，$\dim T = \dim \operatorname{Hom}(V, W) = n r$。因此答案为 $nr$。
公式：\dim T = nr
提示：注意 $U$ 的维数 $m$ 未使用，可能题目有误或 $U$ 是冗余条件。
步骤 5/5
目标：验证与子空间 U 无关
题目中给出了 $U$ 是 $m$ 维子空间，但 $T$ 的定义只涉及 $W$，与 $U$ 无关。因此 $\dim T$ 只依赖于 $n$ 和 $r$。
提示：不要被多余条件误导。
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