华东师范大学 2026年高等代数第0题

线性变换 $\mathscr{L}$ 定义在 $\mathbb{C}^3 \times \mathbb{C}^3$ 上，这是一个6维复线性空间。将向量 $(X,Y)$ 视为列向量 $\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$，其中 $X,Y \in \mathbb{C}^3$。则 $\mathscr{L}$ 可以表示为矩阵乘法：$\mathscr{L}\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X+2Y \\ 2X-Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 2I \\ 2I & -I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$，其中 $I$ 是 $3\times 3$ 单位矩阵。因此 $\mathscr{L}$ 的矩阵表示为 $A = \begin{pmatrix} I & 2I \\ 2I & -I \end{pmatrix}$，这是一个 $6\times 6$ 矩阵。

特征多项式为 $\det(A - \lambda I_6) = 0$，其中 $I_6$ 是 $6\times 6$ 单位矩阵。代入 $A$ 得：$A - \lambda I_6 = \begin{pmatrix} (1-\lambda)I & 2I \\ 2I & (-1-\lambda)I \end{pmatrix}$。这是一个分块矩阵，每个块是 $3\times 3$ 的标量矩阵。

对于形如 $\begin{pmatrix} aI & bI \\ cI & dI \end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其中每个块是 $n\times n$ 标量矩阵，其行列式为 $\det((ad - bc)I_n)$，前提是块可交换（这里显然成立）。因此，令 $a=1-\lambda$, $b=2$, $c=2$, $d=-1-\lambda$，则 $ad - bc = (1-\lambda)(-1-\lambda) - 4 = -(1-\lambda^2) - 4 = \lambda^2 - 5$。所以行列式为 $\det((\lambda^2 - 5)I_3) = (\lambda^2 - 5)^3$。

特征多项式为 $(\lambda^2 - 5)^3 = 0$，解得 $\lambda^2 = 5$，即 $\lambda = \sqrt{5}$ 或 $\lambda = -\sqrt{5}$。由于是6次多项式，每个根的重数为3，因为 $\lambda^2-5$ 的幂次为3。

因此，线性变换 $\mathscr{L}$ 的所有特征值为 $\sqrt{5}$（代数重数3）和 $-\sqrt{5}$（代数重数3）。