华东师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
14．设 $V$ 是 $n \geq 2$ 维欧几里得空间，$v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 是 $v_{i}$ 与 $v_{j}$的内积．
（1）证明：$A$ 是半正定矩阵．
（2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。
（3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明A是半正定矩阵
对于任意 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $x^T A x$：
$$x^T A x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i x_j (v_i, v_j) = \left( \sum_{i=1}^n x_i v_i, \sum_{j=1}^n x_j v_j \right) = \| \sum_{i=1}^n x_i v_i \|^2 \geq 0.$$
因此 $A$ 是半正定矩阵。
公式：$x^T A x = \| \sum x_i v_i \|^2$
提示：注意内积的对称性和双线性性，以及范数的非负性。
步骤 2/6
目标：证明A正定当且仅当v1,...,vn构成基（充分性）
若 $v_1, \dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基，则对于任意非零 $x \in \mathbb{R}^n$，$\sum_{i=1}^n x_i v_i \neq 0$，从而 $x^T A x = \| \sum x_i v_i \|^2 > 0$，故 $A$ 正定。
提示：基保证了线性组合非零，从而范数大于0。
步骤 3/6
目标：证明A正定当且仅当v1,...,vn构成基（必要性）
若 $A$ 正定，则对于任意非零 $x$，$x^T A x > 0$，即 $\| \sum x_i v_i \|^2 > 0$，所以 $\sum x_i v_i \neq 0$。因此 $v_1, \dots, v_n$ 线性无关。由于 $\dim V = n$，它们构成一组基。
提示：正定性推出线性无关，维数相同则构成基。
步骤 4/6
目标：写出矩阵A的具体形式
由条件，$A$ 为 $n$ 阶矩阵，对角线元素为 $1$，非对角线元素为 $c$。即
$$A = \begin{pmatrix} 1 & c & \cdots & c \\ c & 1 & \cdots & c \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c & c & \cdots & 1 \end{pmatrix}.$$
提示：注意矩阵的对称性。
步骤 5/6
目标：计算行列式det(A)
将第 $2$ 至 $n$ 行减去第 $1$ 行，得
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & c & c & \cdots & c \\ c-1 & 1-c & 0 & \cdots & 0 \\ c-1 & 0 & 1-c & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-c \end{vmatrix}.$$
再将第 $2$ 至 $n$ 列加到第 $1$ 列，得
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 + (n-1)c & c & c & \cdots & c \\ 0 & 1-c & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1-c & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1-c \end{vmatrix} = (1 + (n-1)c)(1-c)^{n-1}.$$
公式：$\det(A) = (1 + (n-1)c)(1-c)^{n-1}$
提示：注意行变换和列变换的顺序，以及上三角行列式的计算。
步骤 6/6
目标：判断A正定的条件
$A$ 正定当且仅当所有顺序主子式大于 $0$。由于 $A$ 的特殊结构，其所有顺序主子式具有相同形式：$\det(A_k) = (1 + (k-1)c)(1-c)^{k-1}$，$k=1,\dots,n$。因此 $A$ 正定当且仅当 $1 + (n-1)c > 0$ 且 $1-c > 0$，即 $c > -\frac{1}{n-1}$ 且 $c < 1$。又因为 $c > 0$，故 $0 < c < 1$。
提示：注意顺序主子式需全部大于0，且c>0是已知条件。
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