华中师范大学 2018年高等代数第4题
📝 题目
4．求出向量组 $\displaystyle (0,1,1),(4,2,1),(5,2,1),(1,0,1)$ 的极大线性无关组：并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造矩阵并化为行阶梯形
将向量组 $\alpha_1=(0,1,1), \alpha_2=(4,2,1), \alpha_3=(5,2,1), \alpha_4=(1,0,1)$ 按列排成矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&4&5&1\\1&2&2&0\\1&1&1&1\end{pmatrix}$。通过行变换化为行阶梯形：交换第1、2行得 $\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&4&5&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}$；第3行减第1行得 $\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&4&5&1\\0&-1&-1&1\end{pmatrix}$；第2行除以4得 $\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&1&\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\\0&-1&-1&1\end{pmatrix}$；第3行加第2行得 $\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&1&\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\\0&0&\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\end{pmatrix}$；第3行乘以4得 $\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&1&\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\\0&0&1&5\end{pmatrix}$。
提示：行变换过程中注意分数运算，避免计算错误。
步骤 2/4
目标：化为行最简形
继续行变换：第2行减去 $\frac{5}{4}$ 倍第3行得 $\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&1&0&-6\\0&0&1&5\end{pmatrix}$；第1行减去2倍第2行再减去2倍第3行得 $\begin{pmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-6\\0&0&1&5\end{pmatrix}$。
提示：注意行最简形中主元为1，且所在列其他元素为0。
步骤 3/4
目标：确定极大线性无关组
行最简形中主元位于第1、2、3列，对应原向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，故它们构成一个极大线性无关组。
提示：极大线性无关组不唯一，但本题中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是其中一个。
步骤 4/4
目标：用极大无关组表示其余向量
由行最简形最后一列可得 $\alpha_4 = 2\alpha_1 -6\alpha_2 +5\alpha_3$。验证：$2(0,1,1)-6(4,2,1)+5(5,2,1)=(0-24+25,2-12+10,2-6+5)=(1,0,1)$，正确。
提示：线性表示的系数直接取自行最简形中对应列的数字。
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