华中师范大学 2018年高等代数第5题
📝 题目
5．求二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+3 x_{2} x_{3}+4 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 - x_3^2 + 2x_1x_2 + 3x_2x_3 + 4x_1x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此：$a_{11}=1$, $a_{22}=0$, $a_{33}=-1$, $a_{12}=a_{21}=1$, $a_{13}=a_{31}=2$, $a_{23}=a_{32}=\frac{3}{2}$。得 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} & -1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 对称，$a_{ij}$ 满足 $2a_{ij}$ 等于 $x_ix_j$ 系数（$i \neq j$）。
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/6
目标：使用配方法化简二次型
将 $f$ 按 $x_1$ 配方：$f = x_1^2 + 2x_1(x_2+2x_3) - x_3^2 + 3x_2x_3 = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - (x_2+2x_3)^2 - x_3^2 + 3x_2x_3$。
公式：完全平方公式：$x_1^2 + 2x_1b = (x_1+b)^2 - b^2$。
提示：注意括号内符号，确保展开后与原式一致。
步骤 3/6
目标：展开并合并同类项
展开 $-(x_2+2x_3)^2 = -x_2^2 -4x_2x_3 -4x_3^2$，代入得 $f = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - x_2^2 -4x_2x_3 -4x_3^2 - x_3^2 + 3x_2x_3 = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - x_2^2 - x_2x_3 -5x_3^2$。
提示：合并 $x_2x_3$ 项时注意系数：$-4+3=-1$。
步骤 4/6
目标：对 $x_2$ 项配方
将 $-x_2^2 - x_2x_3$ 配方：$-x_2^2 - x_2x_3 = -\left[(x_2 + \frac{1}{2}x_3)^2 - \frac{1}{4}x_3^2\right] = -(x_2 + \frac{1}{2}x_3)^2 + \frac{1}{4}x_3^2$。代入得 $f = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - (x_2 + \frac{1}{2}x_3)^2 + \frac{1}{4}x_3^2 -5x_3^2 = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - (x_2 + \frac{1}{2}x_3)^2 - \frac{19}{4}x_3^2$。
公式：完全平方公式：$x_2^2 + bx_2 = (x_2 + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}$。
提示：注意负号处理，提取负号后内部配方要变号。
步骤 5/6
目标：作线性替换得到标准形
令 $y_1 = x_1 + x_2 + 2x_3$, $y_2 = x_2 + \frac{1}{2}x_3$, $y_3 = x_3$，则 $f = y_1^2 - y_2^2 - \frac{19}{4}y_3^2$。该变换是可逆的（系数矩阵满秩），因此标准形中平方项系数为 $1, -1, -\frac{19}{4}$。
公式：线性替换：$\mathbf{y} = P\mathbf{x}$，其中 $P$ 可逆。
提示：确保替换是可逆的，即变换矩阵行列式非零。
步骤 6/6
目标：确定正惯性指数
标准形中正平方项个数为1（$y_1^2$），负平方项个数为2（$y_2^2$ 和 $y_3^2$），故正惯性指数为1。
公式：正惯性指数为标准形中正平方项的个数。
提示：惯性指数与变换无关，只取决于二次型本身。
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