华中师范大学 2018年高等代数第6题
📝 题目
6．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right), M_{2}(R)$ 表示所有的 $\displaystyle 2 \times 2$ 实矩阵集。定义映射
$$
L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M
$$
（1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题与定义
题目给出矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$，定义映射 $L_A: M_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R})$，$L_A(M)=AM$。需要证明 $L_A$ 是线性变换，并求核空间的一组基。
提示：注意 $M_2(\mathbb{R})$ 是实向量空间，线性变换需满足加法和数乘封闭性。
步骤 2/7
目标：证明线性变换的加法保持性
对任意 $M,N\in M_2(\mathbb{R})$，有 $L_A(M+N)=A(M+N)=AM+AN=L_A(M)+L_A(N)$。
公式：A(M+N)=AM+AN
提示：矩阵乘法分配律：$A(M+N)=AM+AN$。
步骤 3/7
目标：证明线性变换的数乘保持性
对任意 $k\in\mathbb{R}$，$M\in M_2(\mathbb{R})$，有 $L_A(kM)=A(kM)=k(AM)=kL_A(M)$。
公式：A(kM)=k(AM)
提示：数乘与矩阵乘法可交换顺序。
步骤 4/7
目标：写出核空间定义并设未知矩阵
核空间 $\ker(L_A)=\{M\in M_2(\mathbb{R})\mid AM=0\}$。设 $M=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}$，则 $AM=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2z & y+2w\\2x+4z & 2y+4w\end{pmatrix}=0$。
公式：AM=0
提示：矩阵乘法时注意行乘列的顺序。
步骤 5/7
目标：解方程组得到约束条件
由 $AM=0$ 得方程组：$\begin{cases}x+2z=0\\y+2w=0\\2x+4z=0\\2y+4w=0\end{cases}$。后两式是前两式的2倍，故等价于 $x=-2z,\; y=-2w$。
公式：x=-2z, y=-2w
提示：注意方程组的冗余性，只需前两个方程。
步骤 6/7
目标：将解表示为参数形式并提取基
代入得 $M=\begin{pmatrix}-2z & -2w\\ z & w\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix}+w\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}$。因此 $\ker(L_A)$ 由这两个矩阵张成，且它们线性无关，故构成一组基。
公式：M = z * E1 + w * E2
提示：检查两个基矩阵是否线性无关：若 $c_1E1+c_2E2=0$，则 $c_1=c_2=0$。
步骤 7/7
目标：写出核空间的一组基
所以 $\ker(L_A)$ 的一组基为 $\left\{\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}\right\}$。
提示：基的表示不唯一，但维数固定为2。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。