华中师范大学 2020年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分）设 $A$ 为一个方阵，若它的每行元素之和均为零，每列元素之和也为零。证明：$A$ 的各个位置的元素的代数余子式均相等．举例说明：若 $A$ 的各个位置的元索的代数余子式均相等，$A$ 的各行元索之和不一定为零。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立已知条件
设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，已知每行元素之和为零：$\sum_{j=1}^n a_{ij}=0$ 对所有 $i$ 成立；每列元素之和为零：$\sum_{i=1}^n a_{ij}=0$ 对所有 $j$ 成立。记 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。
公式：\sum_{j=1}^n a_{ij}=0, \quad \sum_{i=1}^n a_{ij}=0
提示：注意行和与列和均为零，这导致矩阵的行向量和列向量都线性相关，因此行列式为零。
步骤 2/6
目标：推导行列式为零
由于行和为零，行向量线性相关，故 $\det A = 0$。从而 $A A^* = (\det A) I = 0$，其中 $A^*$ 是伴随矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $A_{ji}$。
公式：\det A = 0, \quad A A^* = 0
提示：伴随矩阵的定义：$A^*_{ij} = A_{ji}$，注意转置关系。
步骤 3/6
目标：利用 $A A^* = 0$ 得到线性关系
$A A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0$。特别地，取 $j=1$，得 $\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{1k} = 0$ 对所有 $i$ 成立。又已知 $\sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot 1 = 0$，因此向量 $(A_{11}, A_{12}, \dots, A_{1n})$ 与所有行向量正交，且与 $(1,1,\dots,1)$ 正交于同一空间。
公式：\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{1k} = 0, \quad \sum_{k=1}^n a_{ik} = 0
提示：注意两个正交关系表明 $(A_{11},\dots,A_{1n})$ 与 $(1,\dots,1)$ 在行向量张成的空间的正交补中，由于行向量空间维数至多 $n-1$，正交补维数至少1，因此两者共线。
步骤 4/6
目标：证明第一行代数余子式相等
由共线性，存在常数 $c$ 使得 $A_{1k}=c$ 对所有 $k=1,\dots,n$ 成立。同理，考虑 $A^* A = 0$ 可得 $A_{k1}=c'$ 对所有 $k$ 成立。
公式：A_{1k}=c, \quad A_{k1}=c'
提示：注意 $A^* A = 0$ 的推导类似，利用列和为零的条件。
步骤 5/6
目标：证明所有代数余子式相等
由 $A A^* = 0$ 的对称性，实际上 $A_{ij}$ 均相等。更直接地，将 $A$ 的第 $j$ 列替换为全1列，新矩阵行列式按第 $j$ 列展开得 $\sum_{i=1}^n A_{ij}=0$。同理，将第 $i$ 行替换为全1行，得 $\sum_{j=1}^n A_{ij}=0$。由 $A_{1k}=c$ 知 $\sum_{i=1}^n A_{ij}=n c = 0$，故 $c=0$，从而所有 $A_{ij}=0$，即所有代数余子式相等（均为0）。
公式：\sum_{i=1}^n A_{ij}=0, \quad \sum_{j=1}^n A_{ij}=0
提示：注意这里利用了行列式按行（列）展开的性质，且替换后的矩阵行列式为零（因为有两行或两列相同？实际上替换后行列式不一定为零，但这里展开得到的是代数余子式之和，而由于原矩阵行和为零，替换后行列式为零，故和为零）。
步骤 6/6
目标：构造反例说明逆命题不成立
取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则所有 $n-1$ 阶子式为零，故所有代数余子式均为0，即相等。但第一行元素之和为1，不为零。因此代数余子式全相等不能推出各行和为零。
提示：注意反例需要满足所有代数余子式相等，但行和不为零。这里 $A$ 的秩为1，小于 $n-1=2$，因此所有代数余子式为零。
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