📝 华中师范大学 2020年高等代数真题

1．（20分）设 $A$ 为一个方阵，若它的每行元素之和均为零，每列元素之和也为零。证明：$A$ 的各个位置的元素的代数余子式均相等．举例说明：若 $A$ 的各个位置的元索的代数余子式均相等，$A$ 的各行元索之和不一定为零。

2．（15 分）计算如下 $n$ 阶行列式：

$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x & & & & a_{n} \\
-1 & x & & & a_{n-1} \\
& -1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & x & a_{2} \\
& & & -1 & x+a_{1}
\end{array}\right| .
$$

3．（20分）设 $Q$ 为一个 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个正实数， $\displaystyle \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ 表示主对角线元素为 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 的对角阵。证明：$\displaystyle Q \cdot \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) \cdot Q$ 当且仅当

$$
Q \cdot \operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right)=\operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right) \cdot Q .
$$

4．（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，证明：多项式 $\displaystyle \lambda^{m}-1$ 与 $\displaystyle \lambda^{n}-1$ 互索当且仅当 $m$ 与 $n$ 互索．

5．（15分）用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，对 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,0), \alpha_{2}=(2,0,1), \alpha_{3}=(1,1,-2)$ ．应用格拉姆－施密特正交化方法求出标准正交基．

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间．
（1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ．
（2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

7．（15 分）求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 的首一极小多项式．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。