华中师范大学 2020年高等代数第8题
📝 题目
8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确题目条件和待证结论
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。需要证明：$\sigma$ 是正交变换当且仅当 $\sigma$ 在任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
提示：注意正交变换的定义：保持内积的线性变换，即对任意 $\alpha,\beta\in V$，有 $(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$。
步骤 2/8
目标：必要性：假设正交变换，推导矩阵为正交矩阵
取 $V$ 的一组标准正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n$，设 $\sigma$ 在该基下的矩阵为 $A=(a_{ij})$，即 $\sigma(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)A$。由于基是标准正交的，有 $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\delta_{ij}$。
公式：$\sigma(\varepsilon_i)=\sum_{k=1}^n a_{ki}\varepsilon_k$
提示：注意矩阵 $A$ 的列向量是 $\sigma(\varepsilon_i)$ 在基下的坐标，下标顺序不要混淆。
步骤 3/8
目标：计算 $\sigma(\varepsilon_i)$ 与 $\sigma(\varepsilon_j)$ 的内积
计算 $(\sigma(\varepsilon_i),\sigma(\varepsilon_j)) = \left(\sum_{k=1}^n a_{ki}\varepsilon_k,\sum_{l=1}^n a_{lj}\varepsilon_l\right) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n a_{ki}a_{lj}(\varepsilon_k,\varepsilon_l) = \sum_{k=1}^n a_{ki}a_{kj} = (A^T A)_{ij}$。
公式：$(\sigma(\varepsilon_i),\sigma(\varepsilon_j)) = (A^T A)_{ij}$
提示：利用标准正交基的性质 $(\varepsilon_k,\varepsilon_l)=\delta_{kl}$，求和后只剩 $k=l$ 的项。
步骤 4/8
目标：由正交变换定义得到 $A^T A = I$
因为 $\sigma$ 是正交变换，所以 $(\sigma(\varepsilon_i),\sigma(\varepsilon_j)) = (\varepsilon_i,\varepsilon_j) = \delta_{ij}$。于是 $(A^T A)_{ij} = \delta_{ij}$，即 $A^T A = I$，故 $A$ 是正交矩阵。必要性得证。
公式：$A^T A = I$
提示：注意 $\delta_{ij}$ 是克罗内克符号，当 $i=j$ 时为1，否则为0。
步骤 5/8
目标：充分性：假设在某组标准正交基下矩阵正交，证明 $\sigma$ 是正交变换
设 $\sigma$ 在某组标准正交基 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ 下的矩阵 $A$ 是正交矩阵，即 $A^T A = I$。对任意 $\alpha,\beta\in V$，设 $\alpha = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)X$，$\beta = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)Y$，其中 $X,Y\in\mathbb{R}^n$。
公式：$\alpha = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)X$
提示：坐标向量 $X,Y$ 是列向量，注意基向量是行向量形式。
步骤 6/8
目标：计算 $\sigma(\alpha)$ 和 $\sigma(\beta)$ 的坐标
由线性变换的矩阵表示，$\sigma(\alpha) = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) A X$，$\sigma(\beta) = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) A Y$。
公式：$\sigma(\alpha) = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) A X$
提示：注意矩阵乘法顺序：基向量行向量乘以矩阵再乘以坐标列向量。
步骤 7/8
目标：利用标准正交基下内积的坐标表示
由于基是标准正交的，内积可表示为 $(\alpha,\beta) = X^T Y$。类似地，$(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (A X)^T (A Y) = X^T A^T A Y$。
公式：$(\alpha,\beta) = X^T Y$
提示：标准正交基下，向量的内积等于坐标向量的标准内积。
步骤 8/8
目标：由 $A$ 正交推出 $\sigma$ 保持内积
因为 $A^T A = I$，所以 $(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = X^T I Y = X^T Y = (\alpha,\beta)$。因此 $\sigma$ 保持内积，是正交变换。充分性得证。
公式：$(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (\alpha,\beta)$
提示：注意此处用到 $A^T A = I$，这是正交矩阵的定义。
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