华中师范大学 2020年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 的首一极小多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出矩阵并求特征值
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。由于是上三角矩阵，特征值即对角线元素：$\lambda_1=1$（代数重数2），$\lambda_2=2$（代数重数2）。
提示：注意上三角矩阵的特征值就是对角线元素，不要忽略重数。
步骤 2/7
目标：求特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2 (\lambda-2)^2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)^{a_i}$，其中 $a_i$ 为代数重数。
提示：特征多项式是极小多项式的倍数，但极小多项式可能次数更低。
步骤 3/7
目标：设极小多项式形式
极小多项式 $m(\lambda)$ 是特征多项式的因式，且包含所有特征值。设 $m(\lambda) = (\lambda-1)^a (\lambda-2)^b$，其中 $1 \le a \le 2$，$1 \le b \le 2$。
提示：极小多项式必须包含每个特征值，指数不超过代数重数。
步骤 4/7
目标：确定特征值1的指数a
计算 $(A-I)$ 的秩：$A-I = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。秩为3，零度=4-3=1，即特征值1的几何重数为1。由于几何重数小于代数重数，极小多项式中 $(\lambda-1)$ 的指数至少为2，故 $a=2$。
公式：几何重数 = $\dim \ker(A-\lambda I) = n - \operatorname{rank}(A-\lambda I)$
提示：几何重数等于零度，若小于代数重数，则指数大于1。
步骤 5/7
目标：确定特征值2的指数b
计算 $(A-2I)$ 的秩：$A-2I = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。秩为3，零度=1，几何重数为1，故 $b=2$。
提示：注意矩阵中零行和零列的处理，正确计算秩。
步骤 6/7
目标：写出极小多项式
因此 $m(\lambda) = (\lambda-1)^2 (\lambda-2)^2 = \lambda^4 - 6\lambda^3 + 13\lambda^2 - 12\lambda + 4$。
提示：展开时注意符号和系数，可验证最高次项系数为1。
步骤 7/7
目标：验证极小多项式
由于每个特征值对应的Jordan块大小为2（几何重数为1），极小多项式等于特征多项式。计算 $m(A)$ 为零矩阵（略），故极小多项式正确。
提示：验证时可用Jordan标准形理论简化，或直接计算 $m(A)$ 是否为零。
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