华中师范大学 2020年高等代数第6题
📝 题目
6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间．
（1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ．
（2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并设定基
设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵。取 $V$ 的一组有序基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$，$W$ 的一组有序基 $\beta_1, \dots, \beta_m$。
提示：基的选取是任意的，但必须是有序基。
步骤 2/5
目标：定义线性映射
定义线性映射 $\theta: V \to W$ 满足：$\theta(\alpha_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \beta_i$，$j=1,\dots,n$。由于 $\alpha_j$ 是基，$\theta$ 可唯一线性延拓到整个 $V$。
公式：$\theta(\alpha_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \beta_i$
提示：线性映射由基上的作用唯一确定，需验证线性性。
步骤 3/5
目标：验证矩阵表示
则 $\theta$ 在基 $\{\alpha_j\}$ 和 $\{\beta_i\}$ 下的矩阵正是 $A$。因此存在这样的 $\theta$ 和基。
提示：矩阵的第 $j$ 列是 $\theta(\alpha_j)$ 在 $\{\beta_i\}$ 下的坐标。
步骤 4/5
目标：理解象空间与列空间的关系
设 $\theta$ 在基 $\{\alpha_j\}$ 和 $\{\beta_i\}$ 下的矩阵为 $A$。则 $\operatorname{Im}(\theta)$ 由 $\theta(\alpha_1), \dots, \theta(\alpha_n)$ 张成。这些像在基 $\{\beta_i\}$ 下的坐标向量正是 $A$ 的列向量。
公式：$\operatorname{Im}(\theta) = \operatorname{span}\{\theta(\alpha_1), \dots, \theta(\alpha_n)\}$
提示：注意坐标向量与向量本身的关系。
步骤 5/5
目标：证明维数相等
因此 $\operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于 $A$ 的列空间维数，即 $A$ 的秩。
公式：$\dim \operatorname{Im}(\theta) = \operatorname{rank}(A)$
提示：列空间维数等于矩阵的秩，这是线性代数基本结论。
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