华中师范大学 2020年高等代数第5题
📝 题目
5．（15分）用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，对 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,0), \alpha_{2}=(2,0,1), \alpha_{3}=(1,1,-2)$ ．应用格拉姆－施密特正交化方法求出标准正交基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定第一个正交基向量
取第一个基向量 $\beta_1 = \alpha_1 = (-1,1,0)$。
提示：格拉姆-施密特正交化从第一个向量开始，直接取为第一个正交向量。
步骤 2/8
目标：计算第二个正交基向量
计算 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1$。
内积：$(\alpha_2,\beta_1) = 2\cdot(-1) + 0\cdot1 + 1\cdot0 = -2$，$(\beta_1,\beta_1) = (-1)^2+1^2+0^2 = 2$。
所以 $\beta_2 = (2,0,1) - \frac{-2}{2}(-1,1,0) = (2,0,1) + (-1,1,0) = (1,1,1)$。
公式：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)} \beta_i$
提示：注意内积计算时对应分量相乘再求和；投影系数为负时注意符号。
步骤 3/8
目标：计算第三个正交基向量
计算 $\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2$。
内积：$(\alpha_3,\beta_1) = 1\cdot(-1)+1\cdot1+(-2)\cdot0 = 0$，$(\alpha_3,\beta_2) = 1\cdot1+1\cdot1+(-2)\cdot1 = 0$。
所以 $\beta_3 = (1,1,-2) - 0\cdot\beta_1 - 0\cdot\beta_2 = (1,1,-2)$。
公式：同上
提示：当内积为零时，说明该向量已与前面向量正交，可直接取为下一个正交向量。
步骤 4/8
目标：得到正交基
正交基为 $\beta_1=(-1,1,0)$，$\beta_2=(1,1,1)$，$\beta_3=(1,1,-2)$。
提示：检查正交性：$\beta_1 \cdot \beta_2 = 0$，$\beta_1 \cdot \beta_3 = 0$，$\beta_2 \cdot \beta_3 = 0$。
步骤 5/8
目标：单位化第一个向量
计算 $\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \frac{(-1,1,0)}{\sqrt{2}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$。
公式：$\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$
提示：模长计算：$\|\beta_1\| = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$。
步骤 6/8
目标：单位化第二个向量
计算 $\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$。
公式：同上
提示：模长：$\|\beta_2\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$。
步骤 7/8
目标：单位化第三个向量
计算 $\gamma_3 = \frac{\beta_3}{\|\beta_3\|} = \frac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$。
公式：同上
提示：模长：$\|\beta_3\| = \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{6}$。
步骤 8/8
目标：写出最终标准正交基
最终标准正交基为：
$\gamma_1 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$，
$\gamma_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$，
$\gamma_3 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$。
提示：检查是否单位正交：每个向量模为1，两两内积为0。
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