华中师范大学 2020年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）计算如下 $n$ 阶行列式：
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x & & & & a_{n} \\
-1 & x & & & a_{n-1} \\
& -1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & x & a_{2} \\
& & & -1 & x+a_{1}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定行列式并展开
设该 $n$ 阶行列式为 $D_n$。按第一行展开，得
$$D_n = x \begin{vmatrix} x & & & a_{n-1} \\ -1 & x & & a_{n-2} \\ & -1 & \ddots & \vdots \\ & & -1 & x+a_1 \end{vmatrix}_{(n-1)} + (-1)^{1+n} a_n \begin{vmatrix} -1 & x & & \\ & -1 & x & \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & -1 \end{vmatrix}_{(n-1)}.$$
公式：行列式按第一行展开公式：$D = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$
提示：注意符号：第一行第 $n$ 列元素的代数余子式符号为 $(-1)^{1+n}$。
步骤 2/7
目标：识别余子式
第一个 $(n-1)$ 阶行列式与 $D_n$ 结构相同，只是阶数降低一阶，且右下角元素为 $x+a_1$，因此它就是 $D_{n-1}$。第二个行列式是下三角矩阵，主对角线上元素全是 $-1$，其值为 $(-1)^{n-1}$。
公式：下三角行列式等于主对角线元素乘积
提示：注意第二个行列式是 $(n-1)$ 阶，对角线元素均为 $-1$，乘积为 $(-1)^{n-1}$。
步骤 3/7
目标：建立递推关系
代入得
$$D_n = x D_{n-1} + (-1)^{1+n} a_n \cdot (-1)^{n-1} = x D_{n-1} + (-1)^{2n} a_n = x D_{n-1} + a_n.$$
因为 $(-1)^{2n}=1$。
提示：注意指数运算：$(-1)^{1+n} \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{2n} = 1$。
步骤 4/7
目标：确定初始条件
当 $n=1$ 时，行列式为 $|x+a_1|$，所以 $D_1 = x + a_1$。
提示：一阶行列式就是其元素本身。
步骤 5/7
目标：递推求解
由递推关系 $D_n = x D_{n-1} + a_n$ 反复代入：
$$\begin{aligned} D_n &= x D_{n-1} + a_n \\ &= x(x D_{n-2} + a_{n-1}) + a_n = x^2 D_{n-2} + x a_{n-1} + a_n \\ &= \cdots \\ &= x^{n-1} D_1 + x^{n-2} a_2 + \cdots + x a_{n-1} + a_n. \end{aligned}$$
提示：递推时注意下标对应：$D_{n-1}$ 的常数项是 $a_{n-1}$，以此类推。
步骤 6/7
目标：代入初始条件并化简
代入 $D_1 = x + a_1$，得
$$D_n = x^{n-1}(x + a_1) + x^{n-2} a_2 + \cdots + x a_{n-1} + a_n = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n.$$
提示：合并同类项时注意 $x^{n-1} \cdot x = x^n$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，行列式的值为
$$\boxed{x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n}.$$
提示：最终结果是一个关于 $x$ 的多项式，系数为 $a_1, a_2, \dots, a_n$。
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