华中师范大学 2020年高等代数第3题
📝 题目
3．（20分）设 $Q$ 为一个 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个正实数， $\displaystyle \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ 表示主对角线元素为 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 的对角阵。证明：$\displaystyle Q \cdot \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) \cdot Q$ 当且仅当
$$
Q \cdot \operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right)=\operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right) \cdot Q .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定符号与已知条件
设 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，$\Sigma = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$。由于 $\lambda_i > 0$，$\Sigma$ 可逆，且 $\Lambda = \Sigma^2$。
公式：$\Lambda = \Sigma^2$
提示：注意 $\lambda_i$ 为正实数，因此平方根存在且 $\Sigma$ 可逆。
步骤 2/5
目标：必要性：从 $Q\Lambda = \Lambda Q$ 出发
假设 $Q\Lambda = \Lambda Q$，即 $Q\Sigma^2 = \Sigma^2 Q$。考虑 $Q$ 的 $(i,j)$ 元素 $q_{ij}$，则 $(Q\Sigma^2)_{ij} = q_{ij} \lambda_j$，$(\Sigma^2 Q)_{ij} = \lambda_i q_{ij}$，因此 $q_{ij} \lambda_j = \lambda_i q_{ij}$，即 $q_{ij}(\lambda_i - \lambda_j) = 0$。
公式：$q_{ij}(\lambda_i - \lambda_j) = 0$
提示：矩阵乘法时注意对角矩阵右乘作用于列，左乘作用于行。
步骤 3/5
目标：必要性：推导 $Q\Sigma = \Sigma Q$ 的条件
类似地，$(Q\Sigma)_{ij} = q_{ij} \sqrt{\lambda_j}$，$(\Sigma Q)_{ij} = \sqrt{\lambda_i} q_{ij}$，因此 $Q\Sigma = \Sigma Q$ 当且仅当 $q_{ij}(\sqrt{\lambda_i} - \sqrt{\lambda_j}) = 0$。由于 $\lambda_i - \lambda_j = (\sqrt{\lambda_i} - \sqrt{\lambda_j})(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j})$，且 $\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} > 0$，所以 $q_{ij}(\lambda_i - \lambda_j) = 0$ 等价于 $q_{ij}(\sqrt{\lambda_i} - \sqrt{\lambda_j}) = 0$。因此 $Q\Lambda = \Lambda Q$ 蕴含 $Q\Sigma = \Sigma Q$。
公式：$\lambda_i - \lambda_j = (\sqrt{\lambda_i} - \sqrt{\lambda_j})(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j})$
提示：注意正数平方根的和不为零，因此等价性成立。
步骤 4/5
目标：充分性：从 $Q\Sigma = \Sigma Q$ 出发
假设 $Q\Sigma = \Sigma Q$，两边同时右乘 $\Sigma$ 得 $Q\Sigma^2 = \Sigma Q \Sigma$，再左乘 $\Sigma$ 得 $\Sigma Q \Sigma = \Sigma^2 Q$，因此 $Q\Sigma^2 = \Sigma^2 Q$，即 $Q\Lambda = \Lambda Q$。或者直接平方：$(Q\Sigma)^2 = Q\Sigma Q\Sigma = Q(\Sigma Q)\Sigma = Q(Q\Sigma)\Sigma = Q^2 \Sigma^2$，但更简单的是：由 $Q\Sigma = \Sigma Q$ 两边右乘 $\Sigma$ 得 $Q\Sigma^2 = \Sigma Q \Sigma = \Sigma (\Sigma Q) = \Sigma^2 Q$。
公式：$Q\Sigma^2 = \Sigma^2 Q$
提示：注意矩阵乘法顺序，利用结合律。
步骤 5/5
目标：结论
综上，$Q\Lambda = \Lambda Q$ 当且仅当 $Q\Sigma = \Sigma Q$，即 $Q \cdot \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \cdot Q$ 当且仅当 $Q \cdot \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) \cdot Q$。
提示：结论已得证，注意双向推导的完整性。
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