华中师范大学 2021年高等代数第3题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(a+1) x^{2}+b x-4$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+a x^{2}+(b-2) x-b$ 的首一最大公因式为 $\displaystyle d(x)$ ，且 $\displaystyle d(x)$ 为二次多项式．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值；
（2）求多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=d(x)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题意并设出公因式
已知 $f(x)=x^{3}+(a+1)x^{2}+bx-4$ 与 $g(x)=x^{3}+ax^{2}+(b-2)x-b$ 的首一最大公因式为 $d(x)$，且 $d(x)$ 为二次多项式。由于 $f$ 和 $g$ 都是三次多项式，它们的公因式 $d(x)$ 是二次的，因此 $d(x)$ 整除 $f(x)$ 和 $g(x)$。考虑 $f(x)-g(x)=x^{2}+2x-4+b$，这是一个二次多项式，且 $d(x)$ 整除 $f(x)-g(x)$，所以 $d(x)$ 与 $f(x)-g(x)$ 只差一个常数因子。因为 $d(x)$ 首一，故可设 $d(x)=x^{2}+2x+(b-4)$。
公式：f(x)-g(x)=x^{2}+2x-4+b
提示：注意 $d(x)$ 是首一多项式，因此与 $f(x)-g(x)$ 相差常数倍时，常数因子为1。
步骤 2/6
目标：利用多项式除法求参数
设 $f(x)$ 除以 $d(x)$ 的商为 $x+c$，则 $f(x)=(x+c)d(x)$。展开得 $f(x)=x^{3}+(c+2)x^{2}+(2c+b-4)x+c(b-4)$。与 $f(x)=x^{3}+(a+1)x^{2}+bx-4$ 比较系数：
- $x^{2}$ 系数：$c+2=a+1$，得 $c=a-1$；
- $x$ 系数：$2c+b-4=b$，代入 $c=a-1$ 得 $2(a-1)+b-4=b$，化简得 $2a-6=0$，解得 $a=3$；
- 常数项：$c(b-4)=-4$，代入 $a=3$ 得 $c=2$，则 $2(b-4)=-4$，解得 $b=2$。
公式：f(x)=(x+c)d(x) 展开比较系数
提示：比较系数时注意各项对应，避免漏项。
步骤 3/6
目标：验证 $g(x)$ 被 $d(x)$ 整除
将 $a=3,b=2$ 代入得 $f(x)=x^{3}+4x^{2}+2x-4$，$g(x)=x^{3}+3x^{2}-2$，$d(x)=x^{2}+2x-2$。计算 $g(x)$ 除以 $d(x)$：$(x+1)(x^{2}+2x-2)=x^{3}+3x^{2}+0x-2$，恰好等于 $g(x)$，故整除。因此 $a=3,b=2$ 满足条件，$d(x)=x^{2}+2x-2$。
公式：g(x)=(x+1)d(x)
提示：验证整除时，可做多项式除法或直接展开。
步骤 4/6
目标：写出 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的因式分解形式
由以上计算得 $f(x)=(x+2)d(x)$，$g(x)=(x+1)d(x)$，其中 $d(x)=x^{2}+2x-2$。
公式：f(x)=(x+2)d(x), g(x)=(x+1)d(x)
提示：注意商式与余数的关系。
步骤 5/6
目标：利用因式分解求 $u(x), v(x)$
由 $f(x)-g(x)=d(x)$，即 $1\cdot f(x)+(-1)\cdot g(x)=d(x)$，所以 $u(x)=1$，$v(x)=-1$。
公式：f(x)-g(x)=d(x)
提示：注意 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可以是常数多项式。
步骤 6/6
目标：总结答案
（1）$a=3$，$b=2$，$d(x)=x^{2}+2x-2$；
（2）$u(x)=1$，$v(x)=-1$。
提示：答案要完整，包括 $a,b,d(x),u(x),v(x)$。
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