华中师范大学 2021年高等代数第2题
📝 题目
2．解答如下问题：
（1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量
$$
\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) .
$$
使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ．
（2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：必要性证明：由秩为1构造分解
设 $\operatorname{rank}(A)=1$，则 $A$ 的所有行向量成比例。取 $A$ 的第一行（非零行）为 $\beta = (\beta_1, \dots, \beta_n)$，则存在系数 $a_1, \dots, a_n$ 使得第 $i$ 行为 $a_i \beta$。令 $\alpha = (a_1, \dots, a_n)$，则 $A = \alpha' \beta$，其中 $\alpha'$ 为列向量。
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是非零向量，因为秩为1时矩阵非零。
步骤 2/4
目标：充分性证明：由分解推出秩为1
若 $A = \alpha' \beta$ 且 $\alpha, \beta$ 非零，则 $A$ 的每一行都是 $\beta$ 的倍数，每一列都是 $\alpha'$ 的倍数，故 $\operatorname{rank}(A) \leq 1$。又因为 $\alpha, \beta$ 非零，$A$ 非零，所以 $\operatorname{rank}(A) = 1$。
提示：注意 $\alpha' \beta$ 是秩1矩阵的标准形式，但需确保 $\alpha$ 和 $\beta$ 非零。
步骤 3/4
目标：行列式计算：应用矩阵行列式引理
对于 $A = \alpha' \beta$，考虑 $E_n + A = E_n + \alpha' \beta$。利用矩阵行列式引理：$\det(E_n + \alpha' \beta) = 1 + \beta \alpha'$。这里 $\beta \alpha'$ 是行向量与列向量的内积，即 $\sum_{i=1}^n a_i \beta_i$。
公式：$\det(I_m + UV) = \det(I_n + VU)$，其中 $U$ 为 $m \times n$，$V$ 为 $n \times m$。
提示：注意 $\alpha'$ 是列向量，$\beta$ 是行向量，$\beta \alpha'$ 是一个数。
步骤 4/4
目标：化简结果
因此，$\det(E_n + A) = 1 + \beta \alpha' = 1 + \sum_{i=1}^n a_i \beta_i$。
提示：注意求和符号的下标和变量对应关系。
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