华中师范大学 2021年高等代数第1题
📝 题目
1．计算行列式
$$
D=\operatorname{det}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)
$$
其中 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(1, \cos \theta_{i}, \cos 2 \theta_{i}, \cos 3 \theta_{i}\right)^{\prime}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用三角恒等式将列向量转化为多项式形式
利用三角恒等式：$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$，$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$。令 $x_i = \cos\theta_i$，则 $\alpha_i = (1, x_i, 2x_i^2 - 1, 4x_i^3 - 3x_i)^T$。
公式：$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$，$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
提示：注意 $\cos k\theta$ 可表示为 $\cos\theta$ 的 $k$ 次多项式，但系数需准确记忆。
步骤 2/7
目标：写出行列式矩阵并观察与范德蒙德矩阵的关系
行列式对应的矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & 2x_1^2-1 & 4x_1^3-3x_1 \\
1 & x_2 & 2x_2^2-1 & 4x_2^3-3x_2 \\
1 & x_3 & 2x_3^2-1 & 4x_3^3-3x_3 \\
1 & x_4 & 2x_4^2-1 & 4x_4^3-3x_4
\end{pmatrix}
$$
目标是通过列变换将其化为范德蒙德矩阵形式。
提示：范德蒙德矩阵的第 $j$ 列是 $x_i^{j-1}$，这里第三、四列是多项式，需通过线性组合化为单项式。
步骤 3/7
目标：进行列变换：将第一列加到第三列
执行列变换 $C_3 \leftarrow C_3 + C_1$，因为 $2x_i^2-1 + 1 = 2x_i^2$，所以第三列变为 $2x_i^2$。
提示：列变换不改变行列式的值，注意是加第一列，不是减。
步骤 4/7
目标：进行列变换：将第二列的3倍加到第四列
执行列变换 $C_4 \leftarrow C_4 + 3C_2$，因为 $4x_i^3-3x_i + 3x_i = 4x_i^3$，所以第四列变为 $4x_i^3$。
提示：注意系数3，确保消去 $-3x_i$ 项。
步骤 5/7
目标：提取公因子
此时矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & 2x_1^2 & 4x_1^3 \\
1 & x_2 & 2x_2^2 & 4x_2^3 \\
1 & x_3 & 2x_3^2 & 4x_3^3 \\
1 & x_4 & 2x_4^2 & 4x_4^3
\end{pmatrix}
$$
从第三列提取因子2，从第四列提取因子4，行列式变为 $2 \times 4 = 8$ 乘以范德蒙德矩阵的行列式。
公式：行列式提取公因子：若某列有公因子 $k$，则行列式乘以 $k$。
提示：提取因子时注意是每列独立提取，乘积为 $2 \times 4 = 8$。
步骤 6/7
目标：写出范德蒙德行列式的结果
范德蒙德矩阵的行列式为 $\prod_{1 \le i < j \le 4} (x_j - x_i)$，其中 $x_i = \cos\theta_i$。因此原行列式 $D = 8 \prod_{1 \le i < j \le 4} (\cos\theta_j - \cos\theta_i)$。
公式：$\det\begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3\end{pmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le 4} (x_j - x_i)$
提示：注意范德蒙德行列式的顺序：$i
步骤 7/7
目标：总结最终结果
因此，行列式 $D = 8 \prod_{1 \le i < j \le 4} (\cos\theta_j - \cos\theta_i)$。
提示：最终结果中乘积因子为8，不要遗漏。
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