华中师范大学 2021年高等代数第5题

设 $\lambda_1$ 是 $A$ 的特征值，$V_{\lambda_1} = \{ X \in \mathbb{C}^n \mid AX = \lambda_1 X \}$。对任意 $X \in V_{\lambda_1}$，有 $AX = \lambda_1 X$。利用 $AB = BA$，计算 $A(BX) = B(AX) = B(\lambda_1 X) = \lambda_1 (BX)$，所以 $BX$ 也是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1$ 的特征向量，即 $BX \in V_{\lambda_1}$。

由(1)知，$B$ 限制在 $V_{\lambda_1}$ 上是线性变换。由于 $V_{\lambda_1}$ 是复数域上的线性空间，$B$ 在其上必有特征向量，即存在非零向量 $X \in V_{\lambda_1}$ 和 $\mu \in \mathbb{C}$ 使得 $BX = \mu X$。而 $X \in V_{\lambda_1}$ 已是 $A$ 的特征向量，故 $X$ 是 $A$ 和 $B$ 的公共特征向量。

因为 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$，每个特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 的维数至少为1，且不同特征值对应的特征向量线性无关，故每个 $V_{\lambda_i}$ 的维数恰好为1。

由(1)知，$B$ 将 $V_{\lambda_i}$ 映射到自身。由于 $V_{\lambda_i}$ 是一维的，取非零向量 $\alpha_i \in V_{\lambda_i}$，则 $B\alpha_i$ 也是 $V_{\lambda_i}$ 中的向量，故存在 $\mu_i \in \mathbb{C}$ 使得 $B\alpha_i = \mu_i \alpha_i$。

取 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 为 $A$ 的分别属于 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 的特征向量，它们线性无关。令 $P = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$，则 $P$ 可逆。计算得 $AP = (A\alpha_1, \dots, A\alpha_n) = (\lambda_1 \alpha_1, \dots, \lambda_n \alpha_n) = P \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，所以 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。同理，$BP = (B\alpha_1, \dots, B\alpha_n) = (\mu_1 \alpha_1, \dots, \mu_n \alpha_n) = P \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$，故 $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$。