华中师范大学 2021年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $V$ 是实数域上所有 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle A, B \in V$ 是两个给定的 2 阶实矩阵，定义 $V$ 上的映射 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=A X+X B, X \in V$ ．
（1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证线性变换的加法保持性
对于任意 $X, Y \in V$，计算 $f(X+Y) = A(X+Y) + (X+Y)B = AX + AY + XB + YB = (AX + XB) + (AY + YB) = f(X) + f(Y)$。
公式：f(X+Y)=f(X)+f(Y)
提示：注意矩阵乘法分配律：$A(X+Y)=AX+AY$，$(X+Y)B=XB+YB$。
步骤 2/7
目标：验证线性变换的数乘保持性
对于任意 $X \in V$ 和任意实数 $k$，计算 $f(kX) = A(kX) + (kX)B = k(AX) + k(XB) = k(AX + XB) = k f(X)$。
公式：f(kX)=k f(X)
提示：注意数乘与矩阵乘法的交换：$k(AX)=A(kX)$，因为数乘是标量乘法。
步骤 3/7
目标：结论：f是线性变换
由以上两步，$f$ 满足线性变换的定义，因此 $f$ 是 $V$ 上的线性变换。
提示：线性变换必须同时满足加法和数乘保持性。
步骤 4/7
目标：将矩阵空间同构于向量空间
将 $V$ 视为 $\mathbb{R}^4$，取基为 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$，其中 $E_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1其余为0的 $2\times2$ 矩阵。则任意 $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$ 对应向量 $(x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22})^T$。
提示：注意基的顺序：通常按行优先排列。
步骤 5/7
目标：推导f的矩阵表示
设 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$。计算 $f(E_{11}) = A E_{11} + E_{11} B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & b_{21} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，注意 $E_{11}B$ 只有第一行非零，实际计算得 $f(E_{11}) = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & b_{21} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix}$。类似地，$f(E_{12}) = \begin{pmatrix} b_{12} & a_{11}+b_{22} \\ 0 & a_{21} \end{pmatrix}$，$f(E_{21}) = \begin{pmatrix} a_{12} & 0 \\ a_{22}+b_{11} & b_{21} \end{pmatrix}$，$f(E_{22}) = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ b_{12} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}$。将这些像按基的坐标写成列向量，得到矩阵 $M$。
公式：M = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & b_{12} & a_{12} & 0 \\ b_{21} & a_{11}+b_{22} & 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 & a_{22}+b_{11} & b_{12} \\ 0 & a_{21} & b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法顺序：$AE_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 列乘以 $E_{ij}$ 的第 $j$ 行？实际上，$AE_{ij}$ 的结果是第 $i$ 列为 $A$ 的第 $i$ 列，其余为0；$E_{ij}B$ 的结果是第 $j$ 行为 $B$ 的第 $j$ 行，其余为0。仔细计算每个元素。
步骤 6/7
目标：确定Im f和Ker f的维数
由于 $f$ 的矩阵 $M$ 是 $4\times4$ 矩阵，$\operatorname{Im}f$ 的维数等于 $\operatorname{rank}(M)$，$\operatorname{Ker}f$ 的维数等于 $4 - \operatorname{rank}(M)$。具体数值依赖于 $A,B$。例如，若 $A=B=0$，则 $M=0$，$\operatorname{rank}=0$，$\operatorname{Im}f=\{0\}$，$\dim\operatorname{Im}f=0$，$\operatorname{Ker}f=V$，$\dim\operatorname{Ker}f=4$。若 $A=I$，$B=0$，则 $M=I$，$\operatorname{rank}=4$，$\operatorname{Im}f=V$，$\dim\operatorname{Im}f=4$，$\operatorname{Ker}f=\{0\}$，$\dim\operatorname{Ker}f=0$。
公式：\dim\operatorname{Im}f = \operatorname{rank}(M), \quad \dim\operatorname{Ker}f = 4 - \operatorname{rank}(M)
提示：注意：$\operatorname{Im}f$ 是 $M$ 的列空间，$\operatorname{Ker}f$ 是 $M$ 的零空间。
步骤 7/7
目标：给出一般情况下的Im f和Ker f
一般地，$\operatorname{Im}f = \{ Y \in V \mid Y = AX + XB \text{ for some } X \in V \}$，$\operatorname{Ker}f = \{ X \in V \mid AX + XB = 0 \}$。具体描述需根据 $A,B$ 的数值求解线性方程组。例如，若 $A$ 和 $B$ 使得 $M$ 满秩，则 $\operatorname{Im}f=V$，$\operatorname{Ker}f=\{0\}$。
提示：注意：$\operatorname{Im}f$ 和 $\operatorname{Ker}f$ 是子空间，需要给出基或维数。
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