华中师范大学 2021年高等代数第7题
📝 题目
7．已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
B & C \\
C^{\prime} & O
\end{array}\right)
$$
其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵结构
已知 $A$ 是 $2n$ 阶实对称矩阵，分块表示为 $A = \begin{pmatrix} B & C \\ C' & O \end{pmatrix}$，其中 $B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵。目标是求 $A$ 的正惯性指数和负惯性指数。
提示：注意 $C'$ 是 $C$ 的转置，$O$ 是 $n$ 阶零矩阵。
步骤 2/5
目标：构造合同变换矩阵
为了将 $A$ 化为分块对角矩阵，构造矩阵 $P = \begin{pmatrix} I_n & -B^{-1}C \\ O & I_n \end{pmatrix}$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$B^{-1}$ 存在因为 $B$ 正定。
提示：注意 $P$ 是下三角分块矩阵，其逆矩阵容易求得。
步骤 3/5
目标：计算合同变换
计算 $P'AP$：
$$P'AP = \begin{pmatrix} I_n & O \\ -C'B^{-1} & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & C \\ C' & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & -B^{-1}C \\ O & I_n \end{pmatrix}.$$
先计算中间乘积：
$$\begin{pmatrix} B & C \\ C' & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & -B^{-1}C \\ O & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & -B B^{-1}C + C \\ C' & -C'B^{-1}C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & O \\ C' & -C'B^{-1}C \end{pmatrix}.$$
再左乘 $\begin{pmatrix} I_n & O \\ -C'B^{-1} & I_n \end{pmatrix}$：
$$\begin{pmatrix} I_n & O \\ -C'B^{-1} & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & O \\ C' & -C'B^{-1}C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & O \\ -C'B^{-1}B + C' & -C'B^{-1}C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & O \\ O & -C'B^{-1}C \end{pmatrix}.$$
公式：合同变换公式 $P'AP$
提示：注意矩阵乘法顺序，先右乘再左乘。
步骤 4/5
目标：分析合同矩阵的惯性指数
得到 $A$ 合同于 $\begin{pmatrix} B & O \\ O & -C'B^{-1}C \end{pmatrix}$。由于 $B$ 正定，其正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $0$。对于 $-C'B^{-1}C$，因为 $C$ 可逆且 $B^{-1}$ 正定，所以 $C'B^{-1}C$ 正定，从而 $-C'B^{-1}C$ 负定，其正惯性指数为 $0$，负惯性指数为 $n$。
公式：正定矩阵的性质：若 $D$ 正定，则 $C'DC$ 正定当 $C$ 可逆。
提示：注意 $C'B^{-1}C$ 的正定性依赖于 $C$ 的可逆性。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
因此，$A$ 的正惯性指数为 $n$（来自 $B$），负惯性指数为 $n$（来自 $-C'B^{-1}C$）。
提示：惯性指数是合同不变量，与变换无关。
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