华中师范大学 2021年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有
$$
\langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle .
$$
（1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数；
（2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并定义反对称变换
已知对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $\langle \varphi(\alpha), \beta \rangle = -\langle \alpha, \varphi(\beta) \rangle$。这定义了 $\varphi$ 是反对称变换。
公式：$\langle \varphi(\alpha), \beta \rangle = -\langle \alpha, \varphi(\beta) \rangle$
提示：注意内积的对称性：$\langle \alpha, \beta \rangle = \overline{\langle \beta, \alpha \rangle}$，但在实欧氏空间中为对称。
步骤 2/7
目标：将反对称变换与反对称矩阵关联
在 $V$ 中取一组标准正交基，则 $\varphi$ 在该基下的矩阵 $A$ 满足 $A^T = -A$，即 $A$ 是反对称矩阵。
公式：$A^T = -A$
提示：标准正交基下内积为点积，线性变换的矩阵表示依赖于基的选择。
步骤 3/7
目标：利用同构条件推出行列式性质
由于 $\varphi$ 是同构映射，故 $\varphi$ 可逆，从而 $\det(A) \neq 0$。对反对称矩阵 $A$，有 $\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$。
公式：$\det(A) = (-1)^n \det(A)$
提示：注意 $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$，因为 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 4/7
目标：推导n为偶数
由 $\det(A) \neq 0$ 得 $1 = (-1)^n$，因此 $n$ 必须是偶数。
提示：若 $\det(A)=0$ 则 $\varphi$ 不可逆，与同构矛盾。
步骤 5/7
目标：特征值问题的准备
设 $\lambda$ 是 $\varphi$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\alpha$，即 $\varphi(\alpha) = \lambda \alpha$。
公式：$\varphi(\alpha) = \lambda \alpha$
提示：特征向量非零。
步骤 6/7
目标：利用反对称条件得到特征值关系
代入条件：$\langle \varphi(\alpha), \alpha \rangle = -\langle \alpha, \varphi(\alpha) \rangle$，得 $\langle \lambda \alpha, \alpha \rangle = -\langle \alpha, \lambda \alpha \rangle$。利用内积的线性性和共轭对称性：$\lambda \langle \alpha, \alpha \rangle = -\bar{\lambda} \langle \alpha, \alpha \rangle$。
公式：$\lambda \langle \alpha, \alpha \rangle = -\bar{\lambda} \langle \alpha, \alpha \rangle$
提示：注意 $\langle \lambda \alpha, \alpha \rangle = \lambda \langle \alpha, \alpha \rangle$，而 $\langle \alpha, \lambda \alpha \rangle = \bar{\lambda} \langle \alpha, \alpha \rangle$。
步骤 7/7
目标：推导特征值的性质
由于 $\langle \alpha, \alpha \rangle > 0$，两边除以它得 $\lambda = -\bar{\lambda}$，即 $\lambda + \bar{\lambda} = 0$。因此 $\lambda$ 的实部为0，故 $\lambda$ 是零或纯虚数。
公式：$\lambda = -\bar{\lambda}$
提示：纯虚数包括0吗？0既是实数也是纯虚数，但通常说零或纯虚数。
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