华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，若 $n=2$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ，若 $n>2$ ，且 $\operatorname{rank}(A)= n-1$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：处理n=2的情况：写出A的伴随矩阵
设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。
公式：对于2阶矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，伴随矩阵为 $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。
提示：注意伴随矩阵的定义：代数余子式的转置。对于2阶矩阵，可直接记忆公式。
步骤 2/6
目标：计算(A*)*
将 $A^*$ 视为新的矩阵 $B = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，则 $B^* = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = A$。
公式：对于2阶矩阵，$(B^*)^* = B$。
提示：注意符号：$B^*$ 中元素位置与 $B$ 的关系。
步骤 3/6
目标：n=2的结论
因此，当 $n=2$ 时，$(A^*)^* = A$。
步骤 4/6
目标：处理n>2且rank(A)=n-1的情况：确定A*的秩
由 $\operatorname{rank}(A)=n-1$ 得 $|A|=0$，且 $AA^* = |A|I = 0$。由秩不等式，$\operatorname{rank}(A^*) \leq 1$。又因为 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，$A$ 有非零的 $n-1$ 阶子式，所以 $A^*$ 非零，故 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$。
公式：若 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，则 $\operatorname{rank}(A^*)=1$。
提示：注意：$A^*$ 非零是因为 $A$ 有非零的 $n-1$ 阶子式。
步骤 5/6
目标：利用秩判断(A*)*
对于 $n>2$，若 $\operatorname{rank}(B) \leq n-2$，则 $B^* = 0$。这里 $\operatorname{rank}(A^*)=1 \leq n-2$（因为 $n>2$），所以 $(A^*)^* = 0$。
公式：若 $\operatorname{rank}(B) \leq n-2$，则 $B^*=0$。
提示：注意：当 $n>2$ 时，秩为1的矩阵的伴随矩阵为零矩阵。
步骤 6/6
目标：n>2且rank(A)=n-1的结论
因此，当 $n>2$ 且 $\operatorname{rank}(A)=n-1$ 时，$(A^*)^* = 0$。
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