📝 华中师范大学 2022年高等代数真题

1．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，若 $n=2$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ，若 $n>2$ ，且 $\operatorname{rank}(A)= n-1$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $f(x)=(x-1)^{2}(x+1)(x-2), g(x)=(x+1)^{2}(x-2)^{2}$ ，则 $f(x), g(x)$ 的首一最大公因式为 $\_\_\_\_$ ．

3．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$ ．

4．若3阶复矩阵 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ 为酉矩阵，那么复数 $a$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．

5．在 3 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，向量 $(1,1,-1)$ 与向量 $(2,1,1)$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$ ．

6．$\left(30\right.$ 分）已知 $T=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）（10 分）证明：$T$ 可相似对角化；
（2）（10 分）证明：存在多项式 $f(\lambda)$ ，使得 $A=f(T)$ ；
（3）（10 分）求 $A$ 的行列式．

7．（15 分）设 $k$ 是大于 1 的正整数，向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性相关，且其中任意 $k-1$ 个向量线性无关。证明：存在全不为零的数 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ ，使得 $\alpha_{k}=c_{1} \alpha_{1}+c_{2} \alpha_{2}+\cdots+c_{k-1} \alpha_{k-1}$ ，且这样的 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ 是唯一确定的。

8．（20 分）设 $A, B$ 是两个尺码相同的矩阵，若通过初等变换能把 $A$ 变为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价．设 $A$的列向量构成的向量组生成的子空间为 $U, B$ 的列向量构成的向量组生成的子空间为 $V$ 。
（1）（10 分）当 $U=V$ 时，证明：$A$ 与 $B$ 等价；
（2）（10 分）请举例说明：当矩阵 $A$ 与 $B$ 等价时，不一定有 $U=V$ ．

9．（20 分）已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -5\end{array}\right)$ ．
（1）（10 分）求一个秩为 1 的 3 阶方阵 $C$ ，使得 $A C$ 为零矩阵；
（2）（10 分）证明：不存在秩为 2 的 3 阶方阵 $C$ ，使得 $A C$ 为零矩阵。

10．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 是负定的当且仅当 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，且 $A$ 的所有偶数阶顺序主子式为正。

11．（20分）设 $\mathbb{R}^{4}$ 是由所有 4 维实行向量构成的线性空间，定义 $\mathbb{R}^{4}$ 上的线性变换如下：

$$
\rho: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}-2 x_{3}, x_{3}-3 x_{4}, x_{1}+6 x_{4}\right) .
$$

（1）（10 分）求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^{4}$ 的基底 $\varepsilon_{1}=(1,0,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1,0), \varepsilon_{4}=(0,0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）（10 分）判断 $\rho$ 是否为同构映射，并说明理由．