华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
8．（20 分）设 $A, B$ 是两个尺码相同的矩阵，若通过初等变换能把 $A$ 变为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价．设 $A$的列向量构成的向量组生成的子空间为 $U, B$ 的列向量构成的向量组生成的子空间为 $V$ 。
（1）（10 分）当 $U=V$ 时，证明：$A$ 与 $B$ 等价；
（2）（10 分）请举例说明：当矩阵 $A$ 与 $B$ 等价时，不一定有 $U=V$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题条件
设 $A, B$ 是 $m \times n$ 矩阵，列向量分别为 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 和 $\beta_1, \ldots, \beta_n$。已知 $U = \operatorname{span}\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$，$V = \operatorname{span}\{\beta_1, \ldots, \beta_n\}$，且 $U = V$。需要证明 $A$ 与 $B$ 等价，即存在可逆矩阵 $P$（$m \times m$）和 $Q$（$n \times n$）使得 $P A Q = B$。
提示：注意矩阵等价是通过初等变换，即左乘可逆矩阵（行变换）和右乘可逆矩阵（列变换）。
步骤 2/5
目标：确定列秩并化为列最简形
由于 $U = V$，设其维数为 $r$，则 $A$ 和 $B$ 的列秩均为 $r$。通过初等列变换，可将 $A$ 化为列最简形：存在可逆矩阵 $Q_1$（$n \times n$）使得 $A Q_1 = [C \mid 0]$，其中 $C$ 是 $m \times r$ 矩阵，其列向量构成 $U$ 的一组基。类似地，存在可逆矩阵 $Q_2$ 使得 $B Q_2 = [D \mid 0]$，其中 $D$ 的列向量构成 $V$ 的一组基。
公式：$A Q_1 = [C \mid 0]$, $B Q_2 = [D \mid 0]$
提示：列最简形中，$C$ 的列线性无关，且与 $A$ 的列空间相同。
步骤 3/5
目标：利用基变换联系C和D
因为 $U = V$，所以 $C$ 和 $D$ 的列向量都是 $U$ 的基。因此存在可逆矩阵 $P$（$m \times m$）使得 $P C = D$。实际上，$P$ 是基变换矩阵，将 $C$ 的列映射到 $D$ 的列。
公式：$P C = D$，其中 $P$ 可逆
提示：注意 $P$ 是 $m \times m$ 矩阵，因为 $C$ 和 $D$ 都是 $m \times r$ 矩阵。
步骤 4/5
目标：构造等价变换
将 $P$ 左乘 $A Q_1$ 得：$P A Q_1 = [P C \mid 0] = [D \mid 0] = B Q_2$。因此 $P A Q_1 Q_2^{-1} = B$。令 $Q = Q_1 Q_2^{-1}$，则 $Q$ 可逆，且 $P A Q = B$。所以 $A$ 与 $B$ 等价。
公式：$P A Q = B$，其中 $P$ 和 $Q$ 可逆
提示：注意 $Q_2^{-1}$ 存在，因为 $Q_2$ 可逆。
步骤 5/5
目标：举例说明等价不一定有U=V
考虑 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。$A$ 的列向量生成 $U = \operatorname{span}\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\}$（$x$ 轴），$B$ 的列向量生成 $V = \operatorname{span}\{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}$（$y$ 轴），显然 $U \neq V$。但存在可逆矩阵 $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $Q = I$ 使得 $P A Q = B$，所以 $A$ 与 $B$ 等价。因此等价不能保证列空间相同。
公式：$P A Q = B$
提示：注意 $P$ 是置换矩阵，交换了行，从而改变了列空间。
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