华中师范大学 2022年高等代数第0题

题目要求求一个秩为1的3阶方阵$C$，使得$AC=0$。由于$C$秩为1，可设$C=\alpha\beta^T$，其中$\alpha,\beta\in\mathbb{R}^3$为非零列向量。

由$AC=0$得$A\alpha\beta^T=0$，即$(A\alpha)\beta^T=0$。由于$\beta\neq0$，必有$A\alpha=0$。因此$\alpha$是齐次线性方程组$Ax=0$的非零解。

解$Ax=0$：矩阵$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & -1 & 1\\4 & 5 & -5\end{pmatrix}$，进行行变换：$\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & -1 & 1\\4 & 5 & -5\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 3 & -3\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。得同解方程组$\begin{cases}x_1-x_2+x_3=0\\3x_2-3x_3=0\end{cases}$，即$x_2=x_3$，$x_1=0$。基础解系为$\xi=(0,1,1)^T$。

取$\alpha=\xi=(0,1,1)^T$，再任取非零列向量$\beta$，例如$\beta=(1,0,0)^T$，则$C=\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。验证：$AC=0$，且$C$秩为1。

假设存在秩为2的3阶方阵$C$使得$AC=0$。则$C$的列向量都是$Ax=0$的解。由(1)知$Ax=0$的解空间维数为$3-r(A)$。计算$r(A)$：由行变换知$A$的秩为2，故解空间维数为1。因此$C$的列向量最多线性无关个数为1，即$r(C)\leq1$，与$r(C)=2$矛盾。故不存在这样的$C$。