华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $f(x)=(x-1)^{2}(x+1)(x-2), g(x)=(x+1)^{2}(x-2)^{2}$ ，则 $f(x), g(x)$ 的首一最大公因式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分解多项式为不可约因式
将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 分别分解为不可约因式的乘积：
$f(x) = (x-1)^2 (x+1) (x-2)$，
$g(x) = (x+1)^2 (x-2)^2$。
提示：注意因式的幂次，不要遗漏或重复。
步骤 2/6
目标：找出公共因式
比较 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的因式，找出公共的不可约因式：
$(x+1)$ 和 $(x-2)$ 同时出现在两个多项式中。
提示：检查每个因式是否在两个多项式中都存在。
步骤 3/6
目标：确定公共因式的最低幂次
对于每个公共因式，取其在两个多项式中出现的最低幂次：
- $(x+1)$：在 $f$ 中为一次，在 $g$ 中为二次，取一次；
- $(x-2)$：在 $f$ 中为一次，在 $g$ 中为二次，取一次。
提示：最低幂次是最大公因式的关键，不要误取最高幂次。
步骤 4/6
目标：构造最大公因式
将取出的因式相乘，得到最大公因式：
$(x+1)^1 \cdot (x-2)^1 = (x+1)(x-2)$。
提示：注意因式相乘时指数为1可省略。
步骤 5/6
目标：化为首一多项式
展开 $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$，其最高次项系数为1，已是首一多项式。
提示：如果最高次项系数不为1，需提取系数使首项系数为1。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的首一最大公因式为 $x^2 - x - 2$。
提示：最终答案应写成多项式形式，不要保留因式乘积形式。
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