华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
11．（20分）设 $\mathbb{R}^{4}$ 是由所有 4 维实行向量构成的线性空间，定义 $\mathbb{R}^{4}$ 上的线性变换如下：
$$
\rho: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}-2 x_{3}, x_{3}-3 x_{4}, x_{1}+6 x_{4}\right) .
$$
（1）（10 分）求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^{4}$ 的基底 $\varepsilon_{1}=(1,0,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1,0), \varepsilon_{4}=(0,0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）（10 分）判断 $\rho$ 是否为同构映射，并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算基向量在变换下的像
对于标准基 $\varepsilon_1=(1,0,0,0)$，计算 $\rho(\varepsilon_1)=(1+0,0-0,0-0,1+0)=(1,0,0,1)$。类似地，$\rho(\varepsilon_2)=(0+1,1-0,0-0,0+0)=(1,1,0,0)$，$\rho(\varepsilon_3)=(0+0,0-2,1-0,0+0)=(0,-2,1,0)$，$\rho(\varepsilon_4)=(0+0,0-0,0-3,0+6)=(0,0,-3,6)$。
公式：$\rho(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2, x_2-2x_3, x_3-3x_4, x_1+6x_4)$
提示：注意变换公式中每个分量的计算，特别是第四分量是 $x_1+6x_4$，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：将像表示为基的线性组合
将每个像写成标准基的线性组合：$\rho(\varepsilon_1)=1\cdot\varepsilon_1+0\cdot\varepsilon_2+0\cdot\varepsilon_3+1\cdot\varepsilon_4$，$\rho(\varepsilon_2)=1\cdot\varepsilon_1+1\cdot\varepsilon_2+0\cdot\varepsilon_3+0\cdot\varepsilon_4$，$\rho(\varepsilon_3)=0\cdot\varepsilon_1-2\cdot\varepsilon_2+1\cdot\varepsilon_3+0\cdot\varepsilon_4$，$\rho(\varepsilon_4)=0\cdot\varepsilon_1+0\cdot\varepsilon_2-3\cdot\varepsilon_3+6\cdot\varepsilon_4$。
提示：注意系数顺序：第 $j$ 个基向量的像的系数构成矩阵的第 $j$ 列。
步骤 3/6
目标：构造变换矩阵
将上述系数按列排列，得到矩阵 $A$：第一列 $(1,0,0,1)^T$，第二列 $(1,1,0,0)^T$，第三列 $(0,-2,1,0)^T$，第四列 $(0,0,-3,6)^T$。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$。
公式：$A = [\rho(\varepsilon_1) \; \rho(\varepsilon_2) \; \rho(\varepsilon_3) \; \rho(\varepsilon_4)]$
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，不要混淆行和列。
步骤 4/6
目标：判断同构映射的条件
线性变换是同构映射当且仅当它是双射，即矩阵可逆。矩阵可逆等价于行列式非零。因此计算 $\det(A)$。
公式：$\rho$ 是同构 $\iff$ $A$ 可逆 $\iff$ $\det(A)\neq 0$
提示：同构映射要求既是单射又是满射，对于有限维线性空间，只需矩阵可逆。
步骤 5/6
目标：计算行列式
计算 $\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 6 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix}$。第一个三阶行列式是上三角，值为 $1\times1\times6=6$。第二个三阶行列式按第一行展开：$\begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix}=0\cdot\begin{vmatrix}1&-3\\0&6\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}0&-3\\1&6\end{vmatrix}+0\cdot\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot(0\cdot6-(-3)\cdot1)=2\cdot3=6$。所以 $\det(A)=1\cdot6-1\cdot6=0$。
公式：行列式展开公式
提示：展开时注意符号：$(-1)^{i+j}$，按第一行展开时，第二列系数为 $(-1)^{1+2}=-1$，因此是减号。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $\det(A)=0$，矩阵不可逆，因此 $\rho$ 不是同构映射。
提示：行列式为0意味着变换不是单射也不是满射，即不是双射。
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