华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征多项式
计算矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征多项式 $\det(\lambda I - A)$。
$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^3$。
所以特征值为 $\lambda = 1$（三重根）。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^3$
提示：注意上三角矩阵的行列式等于对角元乘积，但这里不是上三角，需按第一行展开或利用分块矩阵性质。
步骤 2/5
目标：确定特征值的代数重数
特征多项式为 $(\lambda-1)^3$，所以特征值 $\lambda=1$ 的代数重数为 3。
提示：代数重数是特征多项式根的重数。
步骤 3/5
目标：计算几何重数
计算 $A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为 2（因为非零行线性无关），所以几何重数 = 3 - 秩 = 1。
公式：几何重数 = n - rank(A - \lambda I)
提示：几何重数等于特征值对应的线性无关特征向量的个数。
步骤 4/5
目标：确定若尔当块结构
代数重数为 3，几何重数为 1，所以只有一个若尔当块，且块的大小为 3。
提示：若尔当块个数等于几何重数，每个块的大小由代数重数和几何重数决定。
步骤 5/5
目标：写出若尔当标准型
由于只有一个大小为 3 的若尔当块，且特征值为 1，所以若尔当标准型为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：若尔当块的对角线为特征值，次对角线为 1。
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