华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
7．（15 分）设 $k$ 是大于 1 的正整数，向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性相关，且其中任意 $k-1$ 个向量线性无关。证明：存在全不为零的数 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ ，使得 $\alpha_{k}=c_{1} \alpha_{1}+c_{2} \alpha_{2}+\cdots+c_{k-1} \alpha_{k-1}$ ，且这样的 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ 是唯一确定的。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用线性相关性得到线性组合
由于向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性相关，根据定义，存在不全为零的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$，使得
\[
\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_k \alpha_k = 0.
\]
公式：线性相关定义：存在不全为零的系数使线性组合为零
提示：注意系数不全为零，但可能部分为零。
步骤 2/5
目标：证明所有系数非零
假设某个 $\lambda_i = 0$，不妨设 $\lambda_k = 0$，则上式变为
\[
\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_{k-1} \alpha_{k-1} = 0,
\]
且 $\lambda_1, \cdots, \lambda_{k-1}$ 不全为零，这与任意 $k-1$ 个向量线性无关矛盾。因此所有 $\lambda_i \neq 0$。
提示：反证法：假设某个系数为零，则得到 $k-1$ 个向量的线性相关关系，与条件矛盾。
步骤 3/5
目标：解出 $\alpha_k$ 的表达式
由 $\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_k \alpha_k = 0$ 且 $\lambda_k \neq 0$，移项得
\[
\lambda_k \alpha_k = -\lambda_1 \alpha_1 - \cdots - \lambda_{k-1} \alpha_{k-1},
\]
两边除以 $\lambda_k$ 得
\[
\alpha_k = -\frac{\lambda_1}{\lambda_k} \alpha_1 - \cdots - \frac{\lambda_{k-1}}{\lambda_k} \alpha_{k-1}.
\]
提示：注意除法时 $\lambda_k \neq 0$ 是前提。
步骤 4/5
目标：定义系数 $c_i$ 并说明非零
令 $c_i = -\frac{\lambda_i}{\lambda_k}$，$i=1,\cdots,k-1$。由于 $\lambda_i \neq 0$ 且 $\lambda_k \neq 0$，每个 $c_i \neq 0$。于是
\[
\alpha_k = c_1 \alpha_1 + \cdots + c_{k-1} \alpha_{k-1}.
\]
提示：注意 $c_i$ 全不为零，这是结论的一部分。
步骤 5/5
目标：证明表示的唯一性
假设还有另一组数 $d_1, \cdots, d_{k-1}$ 使得 $\alpha_k = d_1 \alpha_1 + \cdots + d_{k-1} \alpha_{k-1}$，则两式相减得
\[
(c_1 - d_1) \alpha_1 + \cdots + (c_{k-1} - d_{k-1}) \alpha_{k-1} = 0.
\]
由于 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{k-1}$ 线性无关，必有 $c_i - d_i = 0$，即 $c_i = d_i$，故表示唯一。
公式：线性无关的定义：零组合系数全为零
提示：唯一性依赖于 $k-1$ 个向量的线性无关性。
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