华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
6．$\left(30\right.$ 分）已知 $T=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）（10 分）证明：$T$ 可相似对角化；
（2）（10 分）证明：存在多项式 $f(\lambda)$ ，使得 $A=f(T)$ ；
（3）（10 分）求 $A$ 的行列式．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求矩阵T的特征值
计算特征多项式：$\det(\lambda I - T) = \det\begin{pmatrix}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix} = \lambda^4 - 1$。令其为零，得特征值 $\lambda_k = e^{2\pi i k/4}$，$k=0,1,2,3$，即 $1, -1, i, -i$。
公式：\det(\lambda I - T) = \lambda^4 - 1
提示：注意循环置换矩阵的特征多项式形式，避免计算错误。
步骤 2/5
目标：判断T是否可对角化
由于T是4×4矩阵，且有四个不同的特征值（1, -1, i, -i），每个特征值的几何重数至少为1，且代数重数均为1，故几何重数等于代数重数，因此T可相似对角化。
提示：不同特征值对应的矩阵一定可对角化，但需注意特征值是否互异。
步骤 3/5
目标：将A表示为T的多项式
观察A的结构，A是循环矩阵，第一行为(1,2,3,4)。T是循环移位矩阵，其幂次对应循环移位：$T^0=I$，$T$将行向量右移一位，$T^2$右移两位，$T^3$右移三位。因此，设$f(\lambda)=a_0+a_1\lambda+a_2\lambda^2+a_3\lambda^3$，则$f(T)=a_0I+a_1T+a_2T^2+a_3T^3$。对比A的第一行，得$a_0=1, a_1=2, a_2=3, a_3=4$，故$A=I+2T+3T^2+4T^3$，即$f(\lambda)=1+2\lambda+3\lambda^2+4\lambda^3$。
公式：A = I + 2T + 3T^2 + 4T^3
提示：注意循环矩阵与循环移位矩阵的关系，正确确定系数。
步骤 4/5
目标：计算A的特征值
由于T可对角化，且A=f(T)，则A的特征值为f(λ_k)，其中λ_k是T的特征值。计算：
- λ=1: f(1)=1+2+3+4=10
- λ=-1: f(-1)=1-2+3-4=-2
- λ=i: f(i)=1+2i+3i^2+4i^3=1+2i-3-4i=-2-2i
- λ=-i: f(-i)=1-2i+3(-i)^2+4(-i)^3=1-2i-3+4i=-2+2i
公式：f(\lambda)=1+2\lambda+3\lambda^2+4\lambda^3
提示：计算复数特征值时注意i的幂次：i^2=-1, i^3=-i。
步骤 5/5
目标：求A的行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积：$\det(A) = \prod_{k=0}^3 f(\lambda_k) = 10 \times (-2) \times (-2-2i) \times (-2+2i)$。计算：$(-2-2i)(-2+2i)=(-2)^2+(2)^2=4+4=8$，故$\det(A)=10 \times (-2) \times 8 = -160$。
公式：\det(A) = \prod_{k=0}^3 f(\lambda_k)
提示：注意复数乘积的模平方计算，避免符号错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。