华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．若3阶复矩阵 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ 为酉矩阵，那么复数 $a$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出酉矩阵的定义
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$。若 $A$ 为酉矩阵，则满足 $A A^H = I$，其中 $A^H$ 是 $A$ 的共轭转置。
公式：A A^H = I
提示：注意酉矩阵的定义是 $A A^H = I$，而不是 $A^H A = I$，但两者等价。
步骤 2/5
目标：计算共轭转置矩阵
矩阵 $A$ 的共轭转置为 $A^H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bar{a} \end{pmatrix}$，其中 $\bar{a}$ 是 $a$ 的共轭复数。
提示：共轭转置是先取共轭再转置，注意对角元 $a$ 的共轭是 $\bar{a}$。
步骤 3/5
目标：计算乘积 $A A^H$
计算 $A A^H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bar{a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \bar{a} \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法规则
提示：注意矩阵乘法时，对应行乘列，结果矩阵的 (3,3) 元是 $a \cdot \bar{a}$。
步骤 4/5
目标：令乘积等于单位矩阵
要求 $A A^H = I$，即 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \bar{a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：单位矩阵对角元全为1，非对角元全为0。
步骤 5/5
目标：推导出 $a$ 的条件
比较矩阵对应元素，得到 $a \bar{a} = 1$，即 $|a|^2 = 1$，所以 $|a| = 1$。
公式：|a|^2 = a \bar{a}
提示：注意 $a \bar{a} = |a|^2$ 是实数，且 $|a| = 1$ 表示 $a$ 在单位圆上。
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