华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
10．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 是负定的当且仅当 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，且 $A$ 的所有偶数阶顺序主子式为正。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解负定矩阵与正定矩阵的关系
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。$A$ 负定当且仅当 $-A$ 正定。这是因为对于任意非零向量 $x$，有 $x^T A x < 0$ 等价于 $x^T (-A) x > 0$。
提示：注意负定矩阵的定义：所有特征值小于0，或二次型负定。
步骤 2/6
目标：推导顺序主子式的关系
设 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式为 $\Delta_k$，即 $A$ 左上角 $k \times k$ 子矩阵的行列式。则 $(-A)$ 的 $k$ 阶顺序主子式为 $\det((-A)_k) = \det(-A_k) = (-1)^k \det(A_k) = (-1)^k \Delta_k$。
公式：$\det((-A)_k) = (-1)^k \Delta_k$
提示：注意行列式的性质：$\det(cA) = c^n \det(A)$，但这里是对子矩阵，$k$ 阶子矩阵乘以 $-1$ 相当于每行乘以 $-1$，所以因子是 $(-1)^k$。
步骤 3/6
目标：必要性证明：由负定推出主子式符号条件
若 $A$ 负定，则 $-A$ 正定。正定矩阵的所有顺序主子式大于0，即 $(-1)^k \Delta_k > 0$ 对所有 $k=1,\dots,n$ 成立。因此，当 $k$ 为奇数时，$\Delta_k < 0$；当 $k$ 为偶数时，$\Delta_k > 0$。
公式：$(-1)^k \Delta_k > 0$
提示：注意正定矩阵的判别定理：所有顺序主子式大于0。
步骤 4/6
目标：充分性证明：由主子式符号条件推出负定
设 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，偶数阶为正。考虑 $B = -A$，则 $B$ 的 $k$ 阶顺序主子式为 $(-1)^k \Delta_k$。由条件知 $(-1)^k \Delta_k > 0$ 对所有 $k=1,\dots,n$ 成立，故 $B$ 的所有顺序主子式为正。
提示：注意这里需要验证 $B$ 是实对称矩阵，因为 $A$ 实对称，所以 $B$ 也是实对称。
步骤 5/6
目标：应用正定矩阵判别定理
由于 $B$ 是实对称矩阵且所有顺序主子式为正，根据正定矩阵的判别定理，$B$ 是正定矩阵。因此 $A = -B$ 是负定矩阵。
提示：正定矩阵的判别定理：实对称矩阵正定当且仅当所有顺序主子式大于0。注意该定理适用于实对称矩阵。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$A$ 是负定的当且仅当 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，且所有偶数阶顺序主子式为正。
提示：注意顺序主子式包括1阶到n阶，缺一不可。
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