华中师范大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
5．在 3 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，向量 $(1,1,-1)$ 与向量 $(2,1,1)$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义向量并计算内积
设向量 $\mathbf{a} = (1,1,-1)$，$\mathbf{b} = (2,1,1)$。计算内积：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1\times2 + 1\times1 + (-1)\times1 = 2+1-1 = 2$。
公式：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
提示：注意对应分量相乘再相加，符号不要弄错。
步骤 2/6
目标：计算向量a的模长
计算 $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$。
公式：$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
提示：平方和开方，注意负数的平方为正。
步骤 3/6
目标：计算向量b的模长
计算 $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^2+1^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$。
公式：$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$
提示：注意计算平方和时不要遗漏。
步骤 4/6
目标：应用夹角余弦公式
由公式 $\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$，代入得 $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}}$。
公式：$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$
提示：分母是两个模长的乘积，不要写成和。
步骤 5/6
目标：化简结果
化简 $\frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$。
公式：$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，有理化分母
提示：注意 $\sqrt{18} = \sqrt{9\times2} = 3\sqrt{2}$，然后分子分母同乘 $\sqrt{2}$ 得到 $\frac{2\sqrt{2}}{3\times2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，向量 $(1,1,-1)$ 与 $(2,1,1)$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$。
提示：最终结果要化简到最简形式。
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