华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．设三阶行列式 $D=\left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right|, A_{i j}$ 表示 $D$ 的 $(i, j)$ 位置的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}+3 A_{13}=$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解代数余子式的性质
代数余子式 $A_{ij}$ 满足：将行列式 $D$ 的第 $i$ 行元素替换为任意数 $b_1, b_2, b_3$ 后，新行列式的值等于 $b_1 A_{i1} + b_2 A_{i2} + b_3 A_{i3}$。这里 $i=1$，系数为 $(1,2,3)$，因此所求表达式等于新行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$。
公式：若 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$，则 $b_1 A_{i1} + b_2 A_{i2} + b_3 A_{i3} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{vmatrix}$（第 $i$ 行替换为 $b_1,b_2,b_3$）。
提示：注意代数余子式带符号，但性质中直接替换即可，无需额外符号。
步骤 2/6
目标：构造新行列式
将原行列式 $D$ 的第一行替换为 $(1,2,3)$，得到新行列式 $D' = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$。所求表达式 $A_{11}+2A_{12}+3A_{13}$ 等于 $D'$ 的值。
提示：替换时保持其他行不变。
步骤 3/6
目标：化简行列式：行变换
将第一行乘以 $-1$ 加到第二行和第三行，得到：
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$。
注意：行变换不改变行列式的值。
公式：行变换：$R_2 - R_1$，$R_3 - R_1$。
提示：行变换时，第一行不变，只改变其他行。
步骤 4/6
目标：按第一列展开
行列式第一列只有第一个元素非零，按第一列展开：
$D' = 1 \times (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}$。
公式：按列展开：$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$。
提示：注意代数余子式的符号 $(-1)^{i+j}$，这里 $i=1,j=1$ 为正。
步骤 5/6
目标：计算二阶行列式
计算 $\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \times (-1) - (-2) \times (-1) = 0 - 2 = -2$。
公式：二阶行列式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
提示：注意符号：$(-2) \times (-1) = 2$，但前面有负号，所以 $0 - 2 = -2$。
步骤 6/6
目标：得出结果
因此 $A_{11}+2A_{12}+3A_{13} = D' = -2$。
提示：最终结果是一个数值。
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