📝 华中师范大学 2023年高等代数真题
第0题
1．设三阶行列式 $D=\left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right|, A_{i j}$ 表示 $D$ 的 $(i, j)$ 位置的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}+3 A_{13}=$
第0题
2．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，那么 $A^{2022}=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
4．实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 的正惯性指数是 $\_\_\_\_$ ．
第0题
5．设 $M_{n}(\mathbb{R})$ 是所有 $n$ 阶实方阵构成的实向量空间，那么它的由所有迹等于 0 的方阵构成的子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
6．二阶 $\lambda$ —矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\lambda^{2}-3 \lambda+2 & 0 \\ 0 & \lambda^{2}-4 \lambda+3\end{array}\right)$ 的等价标准型为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
7．计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccccc}
2 & -4 & & & & \\
2 & 2 & -4 & & & \\
& 2 & 2 & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 2 & -4 \\
& & & & 2 & 2
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{cccccc}
2 & -4 & & & & \\
2 & 2 & -4 & & & \\
& 2 & 2 & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 2 & -4 \\
& & & & 2 & 2
\end{array}\right| .
$$
第0题
8．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个复数，且满足
$$
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}=\cdots=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{n}^{n}=0 .
$$
证明：$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
$$
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}=\cdots=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{n}^{n}=0 .
$$
证明：$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
第0题
9．设多项式 $f(x)=x^{2022}-x+1, g(x)=(x-1)^{2}(x+1)$ ，求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的余式．
第0题
10．证明：向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性无关当且仅当存在 $\alpha \in L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}\right)$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 的唯一线性组合。
第0题
11．设 $\mathbb{R}$ 为实数域，$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，在三维列向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 上定义双线性型
$$
f_{A}(X, Y)=X^{T} A Y, \forall X, Y \in \mathbb{R}^{3} .
$$
这里 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置．
（1）证明（ $\left.\mathbb{R}^{3}, f_{A}(),\right)$ 是一个欧氏空间；
（2）求上述欧氏空间的一组标准正交基．
$$
f_{A}(X, Y)=X^{T} A Y, \forall X, Y \in \mathbb{R}^{3} .
$$
这里 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置．
（1）证明（ $\left.\mathbb{R}^{3}, f_{A}(),\right)$ 是一个欧氏空间；
（2）求上述欧氏空间的一组标准正交基．
第0题
12．设 $\mathbb{C}$ 为复数域， $\mathbb{C}^{n}$ 是所有 $n$ 维列向量构成的复向量空间，$M_{n}(\mathbb{C})$ 是所有 $n$ 阶复方阵构成的集合。
（1）证明：对于 $\mathbb{C}^{n}$ 中任意的非零向量 $\alpha$ ，由向量集合 $\left\{A \alpha \mid A \in M_{n}(\mathbb{C})\right\}$ 生成的子空间等于 $\mathbb{C}^{n}$ 。
（2）若 $\theta$ 为 $\mathbb{C}^{n}$ 的一个线性变换，且满足对任意的 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}$ 以及任意的 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，均有 $\theta(A \alpha)=A \theta(\alpha)$ ．证明：存在一个复数 $a$ ，使得 $\theta(\alpha)=a \alpha$ 对任意的 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}$ 都成立．
（1）证明：对于 $\mathbb{C}^{n}$ 中任意的非零向量 $\alpha$ ，由向量集合 $\left\{A \alpha \mid A \in M_{n}(\mathbb{C})\right\}$ 生成的子空间等于 $\mathbb{C}^{n}$ 。
（2）若 $\theta$ 为 $\mathbb{C}^{n}$ 的一个线性变换，且满足对任意的 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}$ 以及任意的 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，均有 $\theta(A \alpha)=A \theta(\alpha)$ ．证明：存在一个复数 $a$ ，使得 $\theta(\alpha)=a \alpha$ 对任意的 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}$ 都成立．