华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 的正惯性指数是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出特征多项式
对于实对称矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)$。
$$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 & 1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{pmatrix}$$
公式：$\det(\lambda I - A)$
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 中 $A$ 的元素要取相反数。
步骤 2/6
目标：按第一行展开行列式
按第一行展开：
$$\begin{aligned} \det &= \lambda \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & \lambda \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \lambda(\lambda^2 - 1) + 1 \cdot [(-1)\lambda - (-1)\cdot 1] + 1 \cdot [(-1)(-1) - \lambda \cdot 1] \end{aligned}$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意代数余子式的符号：$(-1)^{i+j}$。
步骤 3/6
目标：化简行列式表达式
计算各子式：
$$\begin{aligned} \lambda(\lambda^2 - 1) &= \lambda^3 - \lambda \\ (-1)\lambda - (-1)\cdot 1 &= -\lambda + 1 \\ (-1)(-1) - \lambda \cdot 1 &= 1 - \lambda \end{aligned}$$
代入得：
$$\det = (\lambda^3 - \lambda) + (-\lambda + 1) + (1 - \lambda) = \lambda^3 - 3\lambda + 2$$
提示：合并同类项时注意符号。
步骤 4/6
目标：求解特征方程
令特征多项式为零：$\lambda^3 - 3\lambda + 2 = 0$。尝试有理根 $\lambda=1$：$1-3+2=0$，所以 $\lambda=1$ 是一个根。用多项式除法或因式分解：
$$\lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) = (\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda+2) = (\lambda-1)^2(\lambda+2)$$
公式：因式分解：$\lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)^2(\lambda+2)$
提示：注意重根情况，$\lambda=1$ 是二重根。
步骤 5/6
目标：确定特征值
由特征方程得特征值：$\lambda_1 = 1$（二重），$\lambda_2 = -2$。
提示：实对称矩阵的特征值都是实数，此处已验证。
步骤 6/6
目标：计算正惯性指数
正惯性指数等于正特征值的个数（计入重数）。特征值 $1$ 是正数，$-2$ 是负数，所以正特征值个数为 $2$。因此正惯性指数为 $2$。
公式：正惯性指数 = 正特征值的个数（计入重数）
提示：注意：正惯性指数是正特征值的个数，不是特征值的正负个数之和。
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