华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，那么 $A^{2022}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察矩阵结构，发现秩为1
矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 的每一行成比例，第二行和第三行相同，第一行是第二行的 $-1$ 倍，因此秩为1。
提示：注意检查行或列是否成比例，这是秩为1的常见特征。
步骤 2/5
目标：将矩阵分解为列向量与行向量的乘积
由于秩为1，存在非零列向量 $u$ 和行向量 $v^T$ 使得 $A = uv^T$。取 $u = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$v^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$，则 $uv^T = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = A$。
公式：$A = uv^T$
提示：分解不唯一，但需确保乘积等于原矩阵。
步骤 3/5
目标：计算 $A^2$ 并发现递推关系
$A^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^T u)v^T = (v^T u) uv^T = (v^T u) A$。计算 $v^T u = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 + 2 + 1 = 2$。因此 $A^2 = 2A$。
公式：$A^2 = (v^T u) A$
提示：注意 $v^T u$ 是一个数（标量），不是矩阵。
步骤 4/5
目标：归纳证明 $A^n = 2^{n-1} A$
当 $n=1$ 时，$A^1 = 2^{0} A = A$，成立。假设 $A^k = 2^{k-1} A$，则 $A^{k+1} = A^k A = 2^{k-1} A \cdot A = 2^{k-1} A^2 = 2^{k-1} \cdot 2A = 2^k A$。由数学归纳法，对任意 $n \ge 1$，$A^n = 2^{n-1} A$。
公式：$A^n = 2^{n-1} A$
提示：归纳步骤中注意 $A^2 = 2A$ 的代入。
步骤 5/5
目标：代入 $n=2022$ 得到结果
由 $A^n = 2^{n-1} A$，取 $n=2022$，得 $A^{2022} = 2^{2022-1} A = 2^{2021} A = 2^{2021} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意指数 $n-1$ 不要写错。
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