华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
9．设多项式 $f(x)=x^{2022}-x+1, g(x)=(x-1)^{2}(x+1)$ ，求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的余式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定余式的形式
由于除式 $g(x)=(x-1)^2(x+1)$ 是三次多项式，所以余式 $r(x)$ 的次数小于3，可设为 $r(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为待定系数。
提示：注意余式的次数必须小于除式的次数，这里除式是三次，所以余式最高二次。
步骤 2/5
目标：利用 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 建立方程
计算 $f(1)=1^{2022}-1+1=1$，$f(-1)=(-1)^{2022}-(-1)+1=1+1+1=3$。
由于 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$，且 $g(1)=0$，$g(-1)=0$，代入得：
$f(1)=r(1)=a+b+c=1$，
$f(-1)=r(-1)=a-b+c=3$。
公式：多项式除法：$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$
提示：注意 $(-1)^{2022}=1$，因为指数为偶数。
步骤 3/5
目标：利用导数建立方程
由于 $g(x)$ 有因子 $(x-1)^2$，所以 $g(1)=0$ 且 $g'(1)=0$。对 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$ 两边求导得：$f'(x)=g'(x)q(x)+g(x)q'(x)+r'(x)$。代入 $x=1$，利用 $g(1)=0$ 和 $g'(1)=0$，得 $f'(1)=r'(1)$。
计算 $f'(x)=2022x^{2021}-1$，所以 $f'(1)=2022-1=2021$。
而 $r'(x)=2ax+b$，所以 $r'(1)=2a+b=2021$。
公式：导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$
提示：注意 $g(x)$ 有重根时，需要利用导数条件。
步骤 4/5
目标：解方程组求系数
得到方程组：
(1) $a+b+c=1$
(2) $a-b+c=3$
(3) $2a+b=2021$
(1)-(2)得 $2b=-2$，所以 $b=-1$。
代入(3)得 $2a-1=2021$，$2a=2022$，$a=1011$。
代入(1)得 $1011-1+c=1$，$c=-1009$。
提示：解方程组时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：写出余式
因此余式为 $r(x)=1011x^2 - x - 1009$。
提示：最终结果要写成降幂排列。
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