华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．二阶 $\lambda$ —矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\lambda^{2}-3 \lambda+2 & 0 \\ 0 & \lambda^{2}-4 \lambda+3\end{array}\right)$ 的等价标准型为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出给定矩阵并分解因式
给定二阶 $\lambda$ 矩阵为 $\begin{pmatrix} \lambda^2 - 3\lambda + 2 & 0 \\ 0 & \lambda^2 - 4\lambda + 3 \end{pmatrix}$。首先将每个对角元分解为不可约因式的乘积：
$$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2), \quad \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3).$$
提示：因式分解要准确，注意二次三项式的十字相乘法。
步骤 2/5
目标：计算一阶行列式因子
一阶行列式因子 $d_1(\lambda)$ 是矩阵所有一阶子式的最大公因式。一阶子式即矩阵的元素，这里为 $(\lambda-1)(\lambda-2)$ 和 $(\lambda-1)(\lambda-3)$。求它们的最大公因式：
$$\gcd((\lambda-1)(\lambda-2), (\lambda-1)(\lambda-3)) = \lambda-1.$$
因此 $d_1(\lambda) = \lambda-1$。
公式：最大公因式的求法：取各因式的最低幂次。
提示：最大公因式要取首一多项式，即最高次项系数为1。
步骤 3/5
目标：计算二阶行列式因子
二阶行列式因子 $d_2(\lambda)$ 是矩阵所有二阶子式的最大公因式。由于矩阵是 $2\times 2$，唯一的二阶子式就是矩阵的行列式：
$$\det = (\lambda-1)(\lambda-2) \cdot (\lambda-1)(\lambda-3) = (\lambda-1)^2(\lambda-2)(\lambda-3).$$
因此 $d_2(\lambda) = (\lambda-1)^2(\lambda-2)(\lambda-3)$。
公式：行列式因子定义：所有k阶子式的最大公因式。
提示：注意行列式因子是首一多项式。
步骤 4/5
目标：计算不变因子
不变因子 $e_k(\lambda)$ 由行列式因子确定：$e_1(\lambda) = d_1(\lambda)$，$e_2(\lambda) = \frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}$。
代入得：
$$e_1(\lambda) = \lambda-1, \quad e_2(\lambda) = \frac{(\lambda-1)^2(\lambda-2)(\lambda-3)}{\lambda-1} = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3).$$
公式：不变因子与行列式因子的关系：$e_k = d_k / d_{k-1}$，其中 $d_0=1$。
提示：除法要确保整除，且结果为首一多项式。
步骤 5/5
目标：写出等价标准型
等价标准型是对角矩阵，对角元依次为不变因子 $e_1(\lambda), e_2(\lambda), \dots$。注意标准型中 $1$ 的个数等于不变因子中常数1的个数，但这里 $e_1(\lambda)=\lambda-1$ 不是常数，所以标准型为：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3) \end{pmatrix}.$$
实际上，通常将不变因子按降幂排列，但这里只有一个非常数因子。
公式：等价标准型：$\mathrm{diag}(1,\dots,1, e_{r+1}(\lambda), \dots, e_n(\lambda))$，其中 $e_i$ 为非常数不变因子。
提示：注意标准型中1的个数：若 $e_1(\lambda)=1$ 则保留，否则将第一个非常数因子放在最后。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。